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Über den Autor

Mark Zegarelli studierte an der Rutgers University Englisch und Mathematik und ist von Beruf Schriftsteller. Viele Jahre verdiente er sich seinen Lebensunterhalt damit, eine unüberschaubare Menge an Logikrätseln, viele Software‐Handbücher und gelegentlich Buch‐ oder Filmrezensionen zu verfassen. Außerdem bezahlte er einige seiner Rechnungen, indem er nebenbei Häuser putze und sich als Maler und (zehn Stunden lang) als Verkäufer versuchte. Am liebsten schreibt er allerdings Bücher.

Mark Zegarelli lebt größtenteils in Long Branch, New Jersey, und zeitweilig in San Francisco, Kalifornien.

Widmung

Für Mark Dembrowski, der mich stets unterstützte, ermutigte und mir mit weisen Ratschlägen zur Seite stand.

Einführung

Jeden Tag setzen Sie Logik ein – und ich wette mit Ihnen, dass Ihnen das überhaupt nicht auffällt! Sehen Sie sich doch einmal an, in welchen alltäglichen Situationen Sie Gebrauch von ihr machen:

  • Wenn Sie einen netten Abend mit einem Freund oder einer Freundin planen

  • Wenn Sie Ihren Chef um einen freien Tag oder eine Gehaltserhöhung bitten

  • Wenn Sie unter etlichen Hemden, die Ihnen gefallen, dasjenige heraussuchen, das Sie dann auch tatsächlich kaufen

  • Wenn Sie Ihren Kindern erklären, dass vor dem Fernsehen zunächst die Hausaufgaben erledigt sein müssen

Bei all diesen Gelegenheiten verwenden Sie Logik, um sich Ihr eigenes Denken klarzumachen und andere Leute von Ihrer Sichtweise zu überzeugen.

Auch wenn Sie vielleicht nicht immer nach Ihren eigenen logischen Gesichtspunkten handeln, ist doch Logik etwas ganz Natürliches – zumindest für uns Menschen. Und sie ist einer der wichtigsten Gründe dafür, weshalb es die Menschen geschafft haben, so lange Zeit auf einem Planeten zu überleben, der so viele andere Geschöpfe beherbergt, die größer, schneller, zahlreicher und wilder als sie sind.

Und weil die Logik ohnehin ein Teil Ihres Lebens ist, entdecken Sie sie überall – wenn Sie erst einmal auf sie aufmerksam geworden sind.

Dieses Buch soll Ihnen zeigen, dass die Logik ganz selbstverständlich zu unserem Alltag gehört. Wenn Sie das erkannt haben, dann können Sie verschiedenen Arten zu denken auf den Grund gehen und Ihre eigene Denkweise verfeinern. Die Logik hilft Ihnen dabei, das einzusetzen, was Sie bereits wissen (das sind die Prämissen, die Voraussetzungen), um dadurch zum nächsten Schritt (das ist die Konklusion, die Schlussfolgerung) zu gelangen. Außerdem ist die Logik ein fantastisches Instrument dafür, die Schwachstellen in einer Argumentation zu erkennen und aufzudecken – wenn Argumente beispielsweise nicht stichhaltig sind, wenn sie versteckte Annahmen oder einfach nur unklare Überlegungen enthalten.

Über dieses Buch

Logik gibt es seit langer Zeit – seit fast 2400 Jahren! Bei so vielen Menschen (damals wie heute), die über Logik nachgedacht und geschrieben haben, finden Sie es vielleicht schwierig herauszufinden, wo man eigentlich anfangen sollte. Doch machen Sie sich keine Sorgen, schließlich habe ich dieses Buch ja extra für Sie geschrieben.

Wenn Sie gerade einen Einführungskurs für Logik belegt haben, können Sie mit diesem Buch Ihr Wissen erweitern. Alles, was Sie bei Ihrem Kurs lernen, wird hier mit vielen Beispielen Schritt für Schritt in einfachen Worten genau erklärt. Aber auch, wenn Sie einfach nur daran interessiert sind, zu erfahren, worum es bei Logik überhaupt geht, sind Sie mit diesem Buch gut beraten.

Logik für Dummies eignet sich für jeden, der etwas über Logik wissen möchte – was das ist, woher sie kommt, warum sie erfunden wurde und sogar, wie sie sich vielleicht weiterentwickeln wird. Wenn Sie gerade an einem Logikseminar teilnehmen, dann finden Sie hier den Unterrichtsstoff eingängig präsentiert und erläutert, mit vielen Beispielen für verschiedene Aufgaben, die Ihnen Ihr Professor oder Lehrer stellen könnte. In diesem Buch gebe ich Ihnen einen Überblick über die unterschiedlichen Formen der Logik und versorge Sie mit einer soliden Wissensbasis, auf der Sie weiter aufbauen können.

Logik ist einer der wenigen Unterrichtsstoffe, die an der Universität in zwei verschiedenen Fachbereichen gelehrt werden: in der Mathematik und in der Philosophie. Dass die Logik in zwei anscheinend so unterschiedliche Kategorien fällt, ist historisch bedingt: Sie wurde von Aristoteles begründet und in den darauf folgenden Jahrhunderten von Philosophen weiterentwickelt. Doch vor ungefähr 150 Jahren entdeckten Mathematiker, dass die Logik ein unverzichtbares Werkzeug dafür war, ihre Arbeit – die immer abstrakter wurde – weiterzubringen.

Eines der wichtigsten Ergebnisse dieses Ineinandergreifens von Philosophie und Mathematik ist die formale Logik, die Vorstellungen aus der philosophischen Logik übernimmt und sie in einem mathematischen System anwendet. In den Fachbereichen der Philosophie wird die formale Logik normalerweise als rein mathematisches Vorgehen gelehrt.

Als ich dieses Buch schrieb, versuchte ich, diese beiden Aspekte der Logik ins Gleichgewicht zu bringen. Deshalb beginnt dieses Buch auch dort, wo die Logik angefangen hat – nämlich in der Philosophie – und endet dort, wo die Logik heute gelandet ist – in der Mathematik.

Konventionen in diesem Buch

Damit Sie sich in diesem Buch zurechtfinden, gebrauchen wir die folgenden Konventionen:

  • Kursivschreibung wird verwendet, um neue Begriffe hervorzuheben, die im Text erklärt werden. Außerdem wird sie in Gleichungen für Variablen benutzt.

  • Fettschreibung weist auf Schlüsselbegriffe in Aufzählungen hin und wird außerdem für die Wahrheitswerte F und W in Gleichungen und Tabellen verwendet. Sie wird auch eingesetzt bei den 18 Deduktionsregeln der Aussagenlogik und den 5 Deduktionsregeln der Prädikatenlogik.

  • Eingerahmte, grau schattierte Kästchen enthalten zusätzliche Informationen, die zwar sehr interessant, aber nicht entscheidend für das Verständnis des jeweiligen Kapitels oder Themas sind.

  • Eine etwas größere Schrift (W und F) zeigt in den jeweiligen Beispielen der Wahrheitstafeln und Schnelltafeln Informationen an, die gerade neu hinzugekommen sind. In vollständig ausgefüllten Wahrheitstafeln und Schnelltafeln wird diese größere Schrift benutzt, um den Wahrheitswert der gesamten Aussage anzugeben.

  • Statt einer Kombination von runden, eckigen und geschweiften Klammern bediene ich mich in allen Aussagen des runden Klammertyps. Ein Beispiel dafür:

    • ~((P Q) → ~R)

Was Sie nicht unbedingt lesen müssen

Natürlich wäre ich vollauf begeistert, wenn Sie dieses Buch von Anfang bis Ende durchlesen würden, doch seien wir ehrlich: Heutzutage hat kaum jemand noch die Zeit dazu. Wie viel Sie daher wirklich lesen, hängt ganz davon ab, wie viel Sie von der Logik bereits wissen und wie tief Sie in diese Materie tatsächlich eindringen möchten.

Fühlen Sie sich daher ganz frei, all das einfach zu überspringen, was mit einem Dummies‐Mann‐Symbol gekennzeichnet ist. Obwohl die dort angebotene Information durchaus interessant ist, bezieht sie sich meistens auf technische Details, die man auch auslassen kann. Die grauen Kästchen kann man ebenfalls umgehen. Sie finden dort so manch ausgefallene oder geschichtliche Info, die jedoch nichts Wesentliches zum Hauptthema des Kapitels beiträgt.

Törichte Annahmen über den Leser

  • Sie möchten mehr über Logik erfahren, wobei es keine Rolle spielt, ob Sie gerade ein Logikseminar an der Uni belegen oder einfach nur neugierig sind.

  • Sie können bei allgemein bekannten Fakten zwischen wahren und falschen Aussagen unterscheiden. Zum Beispiel bei den Aussagen: »Konrad Adenauer war der erste deutsche Bundeskanzler« und »Der Louvre befindet sich in London«.

  • Sie verstehen einfache mathematische Gleichungen.

  • Sie können etwas mit wirklich einfacher Algebra anfangen, zum Beispiel wie Sie das x in der Gleichung 7 – x = 5 herausbekommen.

Wie dieses Buch aufgebaut ist

Dieses Buch ist in sechs Teile gegliedert. Auch wenn jeder Teil auf den Informationen vorhergehender Teile aufbaut, ist Logik für Dummies dennoch gewissermaßen in Modulbauweise angelegt. Sie können also auch Teile überspringen, ganz wie Sie wollen. Wenn ich ein neues Thema bespreche, das auf Basiswissen beruht, verweise ich Sie auf das jeweilige Kapitel, in dem ich dieses Wissen vorstelle. Doch wenn Sie gerade jetzt einfach nur etwas zu einem ganz bestimmten Thema wissen möchten, dann blättern Sie im Stichwort‐ oder im Inhaltsverzeichnis – dort finden Sie garantiert den gewünschten Begriff.

Und hier ist ein kurzer Abriss über die in diesem Buch behandelten Themen:

Teil I: Ein kurzer Überblick über die Logik

Was ist Logik? Was bedeutet es, logisch oder auch unlogisch zu denken, und wie lässt sich das erklären? Auf diese (und noch mehr!) Fragen antwortet Teil I. Die Kapitel dieses Teiles behandeln den Aufbau eines Arguments, erläutern, was Prämissen und Konklusionen eigentlich sind, und gehen der geschichtlichen Entwicklung der Logik in all ihren Formen nach, angefangen bei den alten Griechen bis zur modernen Computerwissenschaft.

Teil II: Formale Aussagenlogik

Teil II führt Sie in die formale Logik ein. Die formale Logik, die auch als symbolische Logik bezeichnet wird, verwendet ihre eigenen Symbole, um damit Sätze einer natürlichen Sprache (zum Beispiel des Deutschen) zu repräsentieren. Der große Vorteil der formalen Logik besteht darin, dass sie eine einfache und eindeutige Möglichkeit ist, logische Aussagen darzustellen, die auf Deutsch (oder Suaheli) lang und kompliziert wären.

Sie entdecken die Aussagenlogik und die fünf logischen Operatoren, die diese Form ausmachen. Außerdem zeige ich Ihnen, wie man Aussagen vom Deutschen in die Aussagenlogik übersetzt und umgekehrt. Schließlich helfe ich Ihnen dabei, eine Aussage zu bewerten, damit Sie dann darüber entscheiden können, ob sie wahr oder falsch ist. Dazu wenden wir drei einfache Methoden an: Wahrheitstafeln, Schnelltafeln und Wahrheitsbäume.

Teil III: Beweise, Syntax und Semantik in der Aussagenlogik

Ich bin mir sicher, dass Sie wie jeder alte Grieche, der sich mit der Logik beschäftigte, schon vor Ungeduld sterben, um zu erfahren, wie man in der Aussagenlogik Beweise führt – ja, genau diese nervtötenden formalen Argumente, die mithilfe der Deduktionsregeln eine Reihe von Prämissen mit einer Konklusion verknüpfen. Na, da haben Sie aber Glück! In diesem Teil erfahren Sie nämlich alles Wissenswerte über das Führen von Beweisen. Sie entdecken hier auch, wie man indirekte und Konditionalbeweise aufstellt und wie man so wirksam wie möglich Beweise anpackt, indem man eine Vielzahl von Beweisstrategien anwendet.

Teil IV: Prädikatenlogik

Wenn Sie alles erfahren möchten, was es an Wissenswertem zum Thema Prädikatenlogik zu entdecken gibt, dann sind Sie hier genau richtig: Dieser Teil bietet Ihnen alle Informationen, die Sie für eine Einführung brauchen. Die Prädikatenlogik umfasst alles Wichtige aus der Aussagenlogik, erweitert es diese jedoch noch um verschiedene wichtige Ausdrucksmöglichkeiten.

In diesem Teil zeige ich Ihnen, wie sich mithilfe der Prädikatenlogik noch komplexere Aussagen im Deutschen erfassen lassen, indem man diese in kleinere Teile zerlegt, als dies in der Aussagenlogik möglich wäre. Außerdem stelle ich Ihnen die beiden Quantifizierungsoperatoren vor, die sogenannten Quantoren, mit deren Hilfe sich eine Vielzahl von Aussagen darstellen lässt. Schließlich zeige ich Ihnen, wie Sie all das, was Sie über Beweise und Wahrheitsbäume bereits aus der Aussagenlogik kennen, auch in der Prädikatenlogik einsetzen können.

Teil V: Moderne Entwicklungen in der Logik

Wenn Sie die Fortschritte der Logik im Laufe des letzten Jahrhunderts betrachten, zeigen sich ihre Leistungsfähigkeit und ihre Spitzfindigkeit ganz deutlich. In diesem Teil entdecken Sie, wie die Logik die Vision des 19. Jahrhunderts, eine Maschine, zur Realität werden ließ, die den Menschen zeitraubende geistige (Rechen‐)Arbeit abnimmt: den Computer. Ferner widme ich mich der Frage, wie verschiedene Versionen der nicht‐klassischen Logik – die in scheinbar unlogischen Annahmen wurzeln – dennoch stimmig und nützlich sein können, Ereignisse aus dem realen Leben zu beschreiben.

Außerdem zeige ich Ihnen, wie die Logik durch das Vorhandensein von Paradoxen in ihrem tiefsten Selbstverständnis getroffen und herausgefordert wurde. Paradoxe zwangen die Mathematiker, sämtliche Mehrdeutigkeiten zu beseitigen, indem sie der Logik die Begrifflichkeit axiomatischer Systeme zuteilten. Letztlich regten die Paradoxe einen Mathematiker an, sich das Paradox selbst nutzbar zu machen, um zu beweisen, dass die Logik auch ihre Grenzen hat.

Teil VI: Der Top‐Ten‐Teil

Jedes für Dummies‐Buch enthält einen Top‐Ten‐Teil. Dieser Teil umfasst einige Top‐Ten‐Listen über eine Vielzahl von Themen: interessante Zitate, berühmte Logiker und Hinweise darauf, wie man eine Prüfung gut besteht.

In diesem Buch verwendete Symbole

Dieses Buch verwendet verschiedene Symbole, um Sie auf unterschiedliche Arten der Information aufmerksam zu machen:

  • Dieses Symbol benutze ich, um die wesentlichen Begriffe und Regeln hervorzuheben, die Sie kennen sollten. Achten Sie darauf, dass Sie die dort enthaltenen Informationen auch wirklich verstanden haben, bevor Sie weiterlesen!

  • Dieses Symbol gibt Ihnen wertvolle Hinweise, die einen einfachen Weg aufzeigen, wie Sie sich manches aneignen können. Probieren Sie sie aus, vor allem dann, wenn Sie an einem Logikkurs teilnehmen!

  • Überlesen Sie dieses Symbol nicht! Es weist Sie auf weitverbreitete Fehler hin, die Sie vermeiden sollten. Abschnitte, die von diesem Symbol eingeleitet werden, zeigen Ihnen, wo sich diese kleinen Fallen verbergen. So tun Sie nicht aus Versehen einen falschen Schritt und fallen darauf herein.

  • Dieses Symbol zeigt Ihnen wissenswerte, interessante, nicht unbedingt notwendige Details, die Sie lesen oder auch überspringen können – ganz wie Sie wollen.

Wie es weitergeht

Wenn Sie ein wenig Hintergrundwissen über die Logik besitzen und den Inhalt des ersten Teils bereits beherrschen, dann springen Sie einfach voll ins Vergnügen hinein, dorthin, wo ein bisschen mehr los ist! Jeder Teil baut auf den vorhergehenden Teilen auf. Wenn Sie also schon ohne Probleme Teil III lesen können, dann müssen Sie sich wahrscheinlich nicht mehr auf die Teile I und II konzentrieren. (Es sei denn natürlich, Sie möchten Ihre Kenntnisse noch einmal kurz auffrischen.)

Wenn Sie gerade an einem Logikkurs teilnehmen, sollten Sie besonders die Teile III und IV aufmerksam lesen – Sie können vielleicht versuchen, den einen oder anderen Beweis zu rekapitulieren, wenn Sie das Buch zur Seite gelegt haben. Es ist besser herauszufinden, was man nicht weiß, während man gerade noch studiert, als während der Abschlussprüfung!

Wenn Sie nicht an einem Logikseminar teilnehmen – also mit allem Drum und Dran, einschließlich Professor, Klausuren und einer Abschlussprüfung –, sondern einfach nur die Grundlagen der Logik entdecken möchten, dann können Sie natürlich das eine oder andere Beweisbeispiel in den Teilen III und IV auslassen. Sie werden immer noch ein gutes Gefühl dafür bekommen, worum es bei der Logik überhaupt geht, ohne sich unnötig mit schwerem Gepäck zu belasten.

Wenn Sie sich bis zu den Teilen IV und V vorgekämpft haben, werden Sie vermutlich so weit sein, einige doch recht anspruchsvolle Aufgaben in Angriff zu nehmen. Wenn es Ihnen schon in den Fingern juckt, sich mit schwer verdaulichen Logikkonzepten auseinanderzusetzen, dann probieren Sie es doch mal mit Kapitel 22! Dieses Kapitel über logische Paradoxe bietet Ihnen schon ganz schön starken Tobak, um Ihr Denken ein wenig anzuregen und in Fahrt zu bringen. Bon voyage!

Teil I

Ein kurzer Überblick über die Logik

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In diesem Teil …

Lassen Sie mich raten: Sie besuchen gerade Ihr erstes Logikseminar und wollen so schnell wie möglich in alle Details der Logik eingeweiht werden, denn Ihre erste Prüfung steht bereits in 48 Stunden an? Oder vielleicht haben Sie es gar nicht so eilig und möchten nur einen gewissen Einblick in Ihre eigenen Gedankengänge bekommen? In jedem Fall sind Sie hier genau an der richtigen Stelle.

In diesem Teil erfahren Sie zunächst einmal, worum es bei der Logik überhaupt geht. Kapitel 1 zeigt Ihnen in einer Übersicht, wie Sie schon immer Logik verwendeten (bewusst oder auch unbewusst), wenn Sie nämlich Fakten drehen und wenden, um die Welt besser zu verstehen. Kapitel 2 stellt die Geschichte der Logik und die vielen Arten der Logik vor, die im Laufe der Jahrhunderte erfunden wurden. Wenn Sie schon ganz wild darauf sind, endlich tiefer einzusteigen, dann schlagen Sie einfach Kapitel 3 auf, um etwas über die Grundstruktur eines logischen Arguments zu erfahren. Kapitel 3 beschäftigt sich zudem mit Schlüsselbegriffen wie Prämissen und Konklusionen sowie damit, wie man ein Argument auf Gültigkeit und Stichhaltigkeit überprüfen kann.

Kapitel 1

Logik – was ist das eigentlich?

In diesem Kapitel

  • Betrachten Sie unsere Welt von einem logischen Standpunkt aus

  • Nutzen Sie die Logik, um gültige Argumente aufzubauen

  • Wenden Sie die Gesetze des Denkens an

  • Begreifen Sie den Zusammenhang zwischen Mathematik und Logik

Wir alle leben in einer unlogischen Welt. Wenn Sie daran zweifeln, dann schauen Sie sich doch einfach einmal die Abendnachrichten an. Oder hören Sie einmal dem Typen neben Ihnen an der Bar zu. Oder – noch besser – verbringen Sie das nächste Wochenende mit Ihren Schwiegereltern!

Wenn es so viele Menschen gibt, die unlogisch denken und handeln, warum sollten ausgerechnet Sie eine Ausnahme sein? Wäre es nicht vernünftiger, ebenso unlogisch wie die übrige Menschheit zu sein?

Nun gut, sich absichtlich unlogisch zu verhalten, ist wahrscheinlich nicht gerade die beste Idee. Denn wie kann es vernünftig sein, unlogisch zu sein? Und dass Sie dieses Buch in die Hand nehmen und lesen wollen, zeigt doch, dass Sie selbst wahrscheinlich nicht zu den Unlogischen in diesem Land zählen. Doch schauen wir den Tatsachen ins Auge – manche Leute entfalten sich eben erst im Chaos (oder behaupten es zumindest), andere dagegen nicht.

In diesem Kapitel werde ich Sie in die Grundlagen der Logik einführen und Ihnen zeigen, welche Bedeutung sie für Ihr Leben hat. Ich werde Ihnen etwas über die Vorstellungen erzählen, die der Schlüssel zur Logik sind. Und ich werde kurz die Verbindungen zwischen Logik und Mathematik streifen.

Wie man die Dinge logisch sieht

Bewusst oder unbewusst verstehen Sie schon eine ganze Menge von Logik. Tatsächlich besitzen Sie bereits einen eingebauten Logikdetektor. Sie glauben mir nicht? Dann machen Sie doch einfach einmal den folgenden Schnelltest, um zu sehen, ob Sie logisch sind:

F: Wie viele Pfannkuchen benötigt man, um das Dach einer Hundehütte zu bedecken?

A: 23, denn Bananen haben keine Knochen.

Wenn Ihnen die Antwort unlogisch vorkommt, dann ist das ein gutes Zeichen dafür, dass Sie auf dem besten Wege sind, logisch nachzudenken. Warum? Ganz einfach deshalb, weil Sie das Unlogische an dieser Antwort erkannt haben: Sie müssen schon ein rechtes Gespür dafür haben, was tatsächlich logisch ist.

In diesem Abschnitt beginne ich mit dem, was Sie über Logik bereits wissen (auch wenn Sie sich dessen noch nicht bewusst sind), und baue langsam eine Basis auf, die Ihnen bei Ihrem Logikstudium behilflich sein wird.

Wie man von der Frage zur Antwort kommt

Die meisten Kinder sind von Geburt an neugierig. Immer wollen sie wissen, warum etwas so ist, wie es ist. Und nach jedem Weil, das sie auf ihre Frage bekommen, halten sie ein neues Warum parat. Schauen Sie sich beispielsweise die folgenden alltäglichen Kinderfragen an:

  • Warum geht die Sonne morgens auf?

    Warum muss ich zur Schule gehen?

    Warum startet der Automotor, wenn du den Schlüssel drehst?

    Warum brechen Menschen die Gesetze, wenn sie genau wissen, dass sie dafür ins Gefängnis kommen?

Wenn Sie einmal darüber nachdenken, dann haben wir es hier doch mit einem großen Geheimnis zu tun: Weshalb sieht es so aus, als hätte die Welt einen Sinn, auch dann, wenn sie keinen hat?

Kinder spüren schon in ganz jungen Jahren, dass es, selbst wenn sie etwas nicht verstehen, dennoch irgendwie eine Antwort darauf geben muss. Und sie denken: »Wenn ich mit meiner Frage hier bin und die Antwort ist irgendwo anders: Was muss ich tun, um dorthin zu gelangen?« (Häufig besteht ihre Antwort dann darin, ihre Eltern mit weiteren Fragen zu nerven.)

  • Von hier nach dort zu gelangen – vom Nichtwissen zum Verstehen – ist einer der Hauptgründe dafür, warum es überhaupt so etwas wie Logik gibt. Die Logik erwuchs aus einem angeborenen menschlichen Bedürfnis, der Welt einen Sinn zu verleihen und so viel Kontrolle wie nur möglich über sie zu gewinnen.

Was Ursache und Wirkung miteinander zu tun haben

Eine Möglichkeit, die Welt zu begreifen, ist, die Verbindung zwischen Ursache und Wirkung zu erkennen.

Wenn man vom Kind zum Erwachsenen wird, beginnt man darüber nachzudenken und sich zusammenzupuzzeln, wie ein Ereignis das jeweils nächste verursacht. Normalerweise können diese Beziehungen zwischen Ursache und Wirkung in einer Wenn‐Aussage, einem sogenannten Konditional zum Ausdruck gebracht werden. Schauen Sie sich einmal die folgenden Konditionalaussagen an:

  • Wenn ich meinen Lieblingsball unter das Sofa rollen lasse, dann kann ich ihn nicht mehr erreichen.

    Wenn ich alle meine Hausarbeiten erledige, bevor Papa nach Hause kommt, dann wird er noch vor dem Abendessen Fangen mit mir spielen.

    Wenn ich in diesem Sommer ausreichend trainiere, dann wird mich der Trainer im Herbst in die Fußballmannschaft aufnehmen.

    Wenn ich sie immer ganz lieb darum bitte, mit mir auszugehen, dann wird sie schließlich doch irgendwann Ja sagen.

Ein Verständnis für die Funktion von Wenn‐Aussagen zu entwickeln ist ein wichtiger Aspekt der Logik.

Wie man Wenn‐Aussagen zerlegt

  • Jedes Konditional besteht aus zwei kleineren Aussagen, die man als Teilaussagen bezeichnet: Das Antezedens, das auf das Wort wenn folgt, und das Konsequens, das sich dem Wort dann anschließt. Betrachten wir die folgende Wenn‐Aussage:

  • Wenn es 17 Uhr ist, dann ist es Zeit, nach Hause zu gehen.

  • Bei dieser Aussage ist das Antezedens die Teilaussage:

  • Es ist 17 Uhr.

  • Das Konsequens ist die Teilaussage:

  • Es ist Zeit, nach Hause zu gehen.

  • Beachten Sie, dass beide Teilaussagen als vollständige Aussagen ganz für sich alleine stehen.

Wie man Wenn‐Aussagen aneinanderreiht

In vielen Fällen wird das Konsequens einer Wenn‐Aussage zum Antezedens eines weiteren Konditionals. Wenn dies geschieht, dann haben wir es mit einer Reihe von Folgen beziehungsweise Konsequenzen zu tun, die von den Griechen als sorites bezeichnet wurde (bitte lassen Sie sich nicht verwirren, das Wort »die Konsequenz« geht auf das lateinische Substantiv consequentia zurück und wird auf der letzten Silbe betont; das Wort »das Konsequens« geht hingegen auf auf das Partizip Präsens des lateinischen Verbs consequi zurück und wird auf der zweiten Silbe betont; entsprechend ist auch »das Antezedens« – Betonung auf der 3. Silbe – aus dem Partizip Präsens des lateinischen Verbs antecedere hergeleitet). Zum Beispiel:

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Im vorliegenden Fall können Sie diese Konditionalaussagen miteinander verbinden, um daraus eine neue Wenn‐Aussage zu formulieren:

  • Wenn es 17 Uhr ist, dann muss ich meinen Mann anrufen, damit er einen Tisch im Restaurant bestellen kann.

Langsam wird es interessant

Mit zunehmender Lebenserfahrung meinen Sie vielleicht, dass der Bezug zwischen Ursache und Wirkung immer anspruchsvoller wird:

  • Wenn ich meinen Lieblingsball unter das Sofa rollen lasse, dann kann ich ihn nicht mehr erreichen, es sei denn, ich schreie so laut, dass Oma ihn für mich holt, doch wenn ich das öfter als einmal tue, dann wird sie böse und holt den Ball nicht mehr für mich.

  • Wenn ich in diesem Sommer alleine trainiere, aber dennoch nicht so hart, dass ich mir dabei die Knie verletze, dann wird mich der Trainer im Herbst nur dann in die Fußballmannschaft aufnehmen, wenn noch eine Position unbesetzt ist, doch wenn ich überhaupt nicht trainiere, dann wird mich der Trainer in keinem Fall aufnehmen.

Alles und noch mehr

Sobald man immer mehr von der Welt begreift, fängt man auch damit an, allgemeine Aussagen über sie zu treffen. Beispielsweise:

  • Alle Pferde sind lieb.

    Alle Jungen sind blöd.

    Jeder Lehrer auf dieser Schule ist hinter mir her.

    Jedes Mal, wenn das Telefon klingelt, ist es für meine Schwester.

  • Durch Wörter wie alle und jeder können wir Dinge in Gruppen (Gruppen von Gegenständen) und Untergruppen kategorisieren. Wenn man zum Beispiel sagt: »Alle Pferde sind lieb«, so meint man damit, dass die Gruppe aller Pferde enthalten ist in der Gruppe aller lieben Dinge.

Sein oder Nichtsein

Außerdem entdeckt man die Welt, indem man herausfindet, was existiert und was nicht existiert. Beispielsweise:

  • Einige meiner Lehrer sind attraktiv.

    Es gibt in der Schule mindestens ein Mädchen, das mich mag.

    Niemand im Schachclub kann mich schlagen.

    Es gibt keine Marsmännchen.

  • Wörter und Ausdrücke wie einige, es gibt und es existiert zeigen eine Überschneidung von Gruppen an, was in Form einer Schnittmenge dargestellt werden kann. Wenn man etwa sagt: »Einige meiner Lehrer sind attraktiv«, dann meint man damit, dass dies eine Schnittmenge zwischen der Gruppe seiner Lehrer und der Gruppe der attraktiven Dinge ist.

  • Ebenso zeigen Wörter und Ausdrücke wie keine, es gibt nicht und niemand, dass es sich nicht um Überschneidungen von Gruppen handelt. Wenn Sie beispielsweise sagen: »Niemand im Schachclub kann mich schlagen«, dann meinen Sie damit, dass es keine Schnittmenge zwischen der Gruppe aller Schachclubmitglieder und der Gruppe aller Schachspieler gibt, die Sie schlagen können.

Wichtige Wörter in der Logik

Wie man sieht, zeigen bestimmte Wörter eine ganze Menge an, wenn man damit anfängt, logische Verbindungen zu knüpfen. Einige dieser allgemein gebräuchlichen Wörter sind:

wenn … dann

und

aber

oder

nicht

es sei denn

obwohl

jeder

alle

jeder Einzelne

es gibt

einige

es existiert

es gibt nicht

manche

niemand

Eine wichtige Aufgabe der Logik ist es nun, diese Wörter einmal etwas näher zu betrachten, denn dabei erkennt man, wie wir durch diese Wörter die Welt auf unterschiedliche Weise einteilen (und sie damit besser verstehen) können.

Wie man Argumente konstruiert

Wenn die Leute sagen: »Gehen wir das Ganze doch einmal logisch an«, sobald sie eine bestimmte Situation oder ein Problem analysieren und erörtern wollen, dann meinen sie normalerweise damit: »Gehen wir das Ganze doch Schritt für Schritt durch.«

  1. Finden wir heraus, was die Tatsachen sind.

  2. Denken wir einige Zeit darüber nach.

  3. Überlegen wir uns die optimale Vorgehensweise.

  • Logisch ausgedrückt bedeutet dieser dreistufige Prozess die Konstruktion eines Arguments. Ein Argument enthält eine Gruppe von Prämissen zu Beginn und eine Konklusion am Schluss. In vielen Fällen werden die Prämissen und die Konklusion durch eine Reihe von Zwischenschritten miteinander verknüpft sein. In den folgenden Abschnitten werde ich diese in der Reihenfolge behandeln, in der sie Ihnen wahrscheinlich begegnen werden.

Wie man Prämissen aufstellt

Prämissen sind die Fakten des betreffenden Sachverhalts: jene Aussagen, von denen man weiß (oder zumindest fest daran glaubt), dass sie wahr sind. In vielen Situationen ist es ein wichtiger erster Schritt bei der Lösung eines Problems, wenn man zunächst eine Reihe von Prämissen aufschreibt.

Nehmen wir einmal an, Sie gehören der Schulbehörde an und müssen nun entscheiden, ob dem Bau einer neuen Schule, die im September eröffnen soll, zugestimmt werden kann. Alle Beteiligten sind sehr aufgeregt wegen des Bauprojekts, doch Sie selbst tätigen einige Telefonanrufe und sammeln die Fakten – die Prämissen – zusammen.

Prämissen:

  • Die nötigen finanziellen Mittel werden erst ab März bereitstehen.

    Die Baugesellschaft wird erst dann mit der Arbeit beginnen, wenn sie das Geld bekommt.

    Das gesamte Vorhaben wird mindestens acht Monate in Anspruch nehmen.

Bis jetzt haben wir nur eine Reihe von Prämissen. Doch wenn wir sie zusammensetzen, dann nähern wir uns dem Endergebnis – unserem Argument. Im nächsten Abschnitt zeige ich Ihnen, wie Sie die Prämissen miteinander kombinieren können.

Wie man mit Zwischenschritten zur Antwort gelangt

Manchmal ist ein Argument nur eine Reihe von Prämissen, denen eine Konklusion folgt. In vielen Fällen jedoch enthält ein Argument auch noch Zwischenschritte, die anzeigen, wie die Prämissen stufenweise zu dieser Konklusion führen.

Auf das Schulbaubeispiel aus dem vorgehenden Abschnitt angewandt, könnte man den Sachverhalt folgendermaßen näher erklären:

  • Unseren Prämissen folgend, werden wir das Bauvorhaben nicht vor März bezahlen können, sodass die Arbeiten erst acht Monate später, das heißt im November, beendet sein werden. Doch der Schulbeginn liegt bereits im September. Deshalb …

Das Wort deshalb weist auf einen Schluss, auf eine Konklusion, hin und ist somit der Anfang des letzten Schrittes, den ich im nächsten Abschnitt behandeln werde.

Wie man eine Konklusion formuliert

Die Konklusion ist das Ergebnis unseres Arguments. Wenn wir die Zwischenschritte in einem klaren, fortschreitenden Prozess aufgeschrieben haben, dann sollte die Konklusion recht deutlich vor uns liegen. Für das besagte Schulbaubeispiel sieht das dann so aus:

Konklusion:

  • Das Gebäude wird zu Schulbeginn noch nicht fertig sein.

Wenn die Konklusion nicht einleuchtend ist oder keinen Sinn ergibt, dann kann etwas mit Ihrem Argument nicht stimmen. In manchen Fällen kann es sein, dass das Argument nicht gültig ist. In anderen Fällen haben Sie vielleicht Prämissen ausgelassen, die Sie noch unbedingt hinzufügen müssen.

Wie man entscheidet, ob das Argument gültig ist

Nachdem wir ein Argument erstellt haben, müssen wir entscheiden können, ob es gültig ist, das heißt, ob es ein gutes Argument ist.

  • Um ein Argument auf seine Gültigkeit hin zu überprüfen, geht man davon aus, dass alle seiner Prämissen wahr sind. Dann schaut man, ob die Konklusion automatisch aus ihnen folgt. Wenn dies der Fall ist, dann weiß man, dass es ein gültiges Argument ist. Wenn nicht, so ist das Argument ungültig.

Was sind Enthymeme?

Das Argument für unser Schulbaubeispiel mag gültig erscheinen, aber vielleicht haben Sie ja doch noch einige Zweifel. Wenn sich etwa eine weitere Geldquelle auftut, dann kann die Baugesellschaft früher mit ihren Arbeiten beginnen und bis September eventuell fertig werden. Daher gibt es doch noch eine verborgene Prämisse, die als Enthymem bezeichnet wird:

  • Für dieses Bauvorhaben gibt es keine anderen Finanzquellen.

  • Argumente zu real existierenden Situationen haben (im Gegensatz zu mathematischen oder naturwissenschaftlichen Argumenten) fast immer Enthymeme. Je mehr Sie sich daher der versteckten Enthymeme eines Arguments bewusst werden, desto bessere Chancen haben Sie, sicherzustellen, dass Ihr Argument gültig ist.

Unentdeckte, verborgene Prämissen bei Realargumenten haben eher etwas mit der Rhetorik zu tun, wobei es dort darum geht, triftige und überzeugende Argumente zu formulieren. In Kapitel 3 werde ich kurz auf Rhetorik sowie weitere Details der Struktur von Argumenten eingehen.

Logische Schlüsse: leicht gemacht durch Denkgesetze

Um die Logik von Grund auf zu verstehen, entwarf der Philosoph Bertrand Russell drei Denkgesetze. Diese Gesetze basieren alle auf Vorstellungen, die bis auf Aristoteles zurückgehen, der vor mehr als 2300 Jahren die klassische Logik begründete. (Siehe Kapitel 2 für weitere Informationen zur Geschichte der Logik.)

Alle drei Gesetze sind wirklich fundamental und leicht zu verstehen. Doch das Wichtigste daran ist, dass es mithilfe aller dieser drei Sätze möglich wird, auch dann logische Schlüsse über Aussagen zu ziehen, wenn man nicht mit den Realbedingungen vertraut ist, mit denen sie sich befassen.

Der Satz der Identität

  • Der Satz der Identität oder auch das Identitätsprinzip besagt, dass jedes Einzelding identisch mit sich selbst ist.

    Zum Beispiel:

    Johnny Cash ist Johnny Cash.

    Meine Katze Miezi ist meine Katze Miezi.

    Das Brandenburger Tor ist das Brandenburger Tor.

Auch ohne irgendeine Information über die Welt zu haben, kann man alleine aus der Logik heraus erkennen, dass alle diese Aussagen wahr sind. Der Satz der Identität sagt uns, dass jede Aussage der Form »X ist X« wahr sein muss. Anders ausgedrückt: Jeder Gegenstand, den es im Universum gibt, stimmt mit sich selbst überein. In Kapitel 19 erfahren Sie, wie dieses Gesetz explizit auf die Logik angewandt wird.

Der Satz vom ausgeschlossenen Dritten

  • Der Satz vom ausgeschlossenen Dritten besagt, dass jede Aussage entweder wahr oder falsch ist.

    Betrachten wir einmal die beiden folgenden Aussagen:

    Mein Name ist Mark.

    Mein Name ist Algernon.

Auch hierbei erkennt man logisch, ohne irgendetwas über die Welt zu wissen, dass jede einzelne dieser Aussagen entweder wahr oder falsch ist. Beim Satz vom ausgeschlossenen Dritten gibt es keine dritte Möglichkeit – oder, anders ausgedrückt: Aussagen können nicht nur teilweise wahr oder falsch sein. Sondern jede Aussage in der Logik ist entweder vollkommen wahr oder vollkommen falsch.

Es trifft sich gut, dass die erste Aussage wahr ist, und ich bin erleichtert, dass die zweite falsch ist.

Das Gesetz der Nichtwidersprüchlichkeit

  • Das Gesetz der Nichtwidersprüchlichkeit besagt, dass bei einer gegebenen Aussage und ihrem Gegenteil, die eine wahr und die andere falsch ist.

    Zum Beispiel:

    Mein Name ist Algernon.

    Mein Name ist nicht Algernon.

Auch wenn Sie meinen Namen gar nicht kennen, so können Sie sich doch alleine von der Logik her sicher sein, dass eine dieser Aussagen wahr und die andere falsch sein muss. Oder anders ausgedrückt: Aufgrund des Gesetzes von der Nichtwidersprüchlichkeit kann mein Name nicht sowohl Algernon als auch nicht Algernon sein.

Wie man Logik und Mathematik miteinander kombiniert

An vielen Stellen in diesem Buch beweise ich die Gültigkeit meiner Argumente mit Beispielen aus der Mathematik. (Keine Angst – Schwierigeres als das, was Sie in der 5. Klasse gelernt haben oder sogar noch früher, kommt hier nicht vor.) Mathematik und Logik passen toll zusammen, was ich Ihnen in den nächsten Abschnitten erklären werde.

Die Mathematik hilft, die Logik zu verstehen

Wenn ich in diesem Buch versuche, Ihnen die Logik näherzubringen, brauche ich manchmal Beispiele, die eindeutig wahr oder falsch sind, um meine Argumente zu beweisen. Und dabei stellt es sich nun einmal heraus, dass sich mathematische Beispiele für diesen Zweck ganz hervorragend eignen, weil eine Aussage in der Mathematik stets entweder wahr oder falsch ist, es gibt keine Grauzone dazwischen.

Andererseits können beliebige Gegebenheiten des Alltagslebens eher subjektiv oder sogar ein Streitobjekt sein. Betrachten wir doch einmal die folgenden Aussagen:

  • Elvis war ein großartiger Musiker.

    Robinson Crusoe ist ein miserables Buch.

Die meisten Menschen würden in diesem Fall wahrscheinlich zustimmen, dass die erste Aussage wahr ist und die zweite falsch, dennoch kann man über beide durchaus diskutieren. Doch sehen Sie sich jetzt folgende Aussagen an:

  • Die Zahl 7 ist kleiner als die Zahl 8.

    Fünf ist eine gerade Zahl.

Hierbei gibt es natürlich keinerlei Diskussion darüber, dass die erste Aussage wahr und die zweite falsch ist.

Die Logik hilft, die Mathematik zu verstehen

Wie wir eben sahen, beruhen die Denkgesetze, auf denen die Logik basiert – wie der Satz vom ausgeschlossenen Dritten – auf einem Schwarz‐Weiß‐Denken. Und, natürlich, nichts ist wohl schwärzer und weißer als die Mathematik. Auch wenn es vielleicht Bereiche geben mag, die mehr Spaß machen – wie Geschichte, Literatur, Politik oder Kunst –, so ist man in diesen Bereichen häufiger mit Grauzonen konfrontiert als in der Mathematik.

Die Mathematik baut auf der Logik auf, so wie ein Haus auf einem Fundament errichtet ist. Wenn Sie sich für die Beziehung zwischen Mathematik und Logik interessieren, dann lesen Sie Kapitel 22, das sich darauf konzentriert, wie die Mathematik mit klaren Fakten beginnt, die man als Axiome bezeichnet, und sich dann der Logik bedient, um interessante und komplexe Konklusionen zu formulieren, die als Theoreme bezeichnet werden.