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Inhaltsverzeichnis

Beachten Sie bitte auch weitere interessante Titel zu diesem Thema

Deibele, L. Dohm, R. (Hrsg.)

Miniplant-Technik

in der Prozessindustrie

2005, ISBN 3-527-30739-7

Vogel, G. H.

Lehrbuch Chemische Technologie

Grundlagen Verfahrenstechnischer Anlagen

2004, ISBN 3-527-31094-0

Schmidt, V. M.

Elektrochemische Verfahrenstechnik

Grundlagen, Reaktionstechnik, Prozessoptimierung

2003, ISBN 3-527-29958-0

Storhas, W.

Bioverfahrensentwicklung

2003, ISBN 3-527-28866-X

Helmus, F. P.

Anlagenplanung

Von der Anfrage bis zur Abnahme

2003, ISBN 3-527-30439-8

Vogel, C. H.

Verfahrensentwicklung

von der ersten Idee zur chemischen Produktionsanlage

2002, ISBN 3-537-28721-3

Reschetilowski, W.

Technisch-Chemisches Praktikum

2002, ISBN 3-527-30619-6

Löwe, A.

Chemische Reaktionstechnik

mit MATLAB und SIMULINK

2001, ISBN 3-527-30268-9

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Author

Prof. Dr.-Ing. Marko Zlokarnik

Grillparzerstr. 58

8010 Graz

Österreich

E-Mail:

Meinem Freund und Lehrer

Herrn Dr. phil. Dr.-Ing. h.c. Juri Pawlowski

zugeeignet.

Vorwort zur 1. Auflage

Viele Forschungs- und Dimensionierungsaufgaben, die sich heute dem Verfahrensingenieur stellen, sind so kompliziert, daß sie mit den Mitteln der numerischen Mathematik nicht mehr zu lösen sind. Es genügt, wenn man in diesem Zusammenhang an Vorgänge in Verbindung mit temperaturabhängigen Stoffwerten oder mit nicht-Newtonschen Fluiden erinnert bzw. auf Vorgänge in heterogenen Stoffsystemen hinweist, bei denen z. B. Koaleszenzphänomene oder Schäume oder Schlämme auftreten. Es leuchtet ein, daß Apparate und Anlagen, in denen solche Stoffsysteme behandelt werden, schwierige Dimensionierungsprobleme aufwerfen und oft allenfalls mit Hilfe der partiellen Ähnlichkeit zu übertragen sind.

Es muß festgestellt werden, daß der Hochschulabsolvent in der Regel auf Probleme genannter Art in keiner Weise vorbereitet ist. Einerseits sind die Abhandlungen über die Grundlage der Modellübertragung – die Dimensionsanalyse – sowie über die Ähnlichkeitstheorie und die Modellübertragung in den gängigen Lehrbüchern veraltet und auch sonst nur in den seltensten Fällen so abgefaßt, daß sie diese Methoden popularisieren könnten. Andererseits fehlt es der Hochschule an Motivation für eine Forschungstätigkeit dieser Art, da sie mit Dimensionierungsaufgaben in der Regel nicht konfrontiert wird und ihr daher dazu meist auch die nötigen Apparate im halbtechnischen Maßstab fehlen.

So entsteht der völlig falsche Eindruck, daß die angesprochenen Methoden bestenfalls eine marginale Bedeutung für die verfahrenstechnische Praxis besitzen, da man sie sonst ja im Studium intensiver behandelt hätte!

Das vorliegende Buch versucht diesem Mangel abzuhelfen. Es behandelt die Dimensionsanalyse und die Modellübertragung so, daß sie jedermann auch ohne mathematische Vorkenntnisse sofort und leicht verständlich wird. Dabei wird insbesondere der Behandlung von veränderlichen Stoffwerten (z. B. ihre Temperaturabhängigkeit, Abhängigkeit der Viskosität von der Scherbeanspruchung) viel Raum gegeben. Viele Stoffsysteme in der Biotechnik weisen nämlich ein nicht- Newtonsches Viskositätsverhalten auf, und es sind gerade die biotechnischen Prozesse, die stetig an Bedeutung gewinnen. Bei der Modellübertragung dieser Prozesse in den technischen Maßstab muß neben der geometrischen und prozeßbedingten auch die stoffliche Ähnlichkeit eingehalten werden.

Die theoretischen Grundlagen der Dimensionsanalyse und der Modellübertragung werden auf den ersten hundert Seiten besprochen. Sie werden jeweis unmittelbar an zwanzig Beispielen erläutert, die heute interessierende Fragestellungen behandeln.

Die zweite Hälfte dieses Buches ist jedoch der ganzheitlichen dimensionsanalytischen Behandlung von Problemen aus den Gebieten der mechanischen, thermischen und chemischen Verfahrenstechnik gewidmet; sie umfaßt dreißig Beispiele. Mit dem Begriff „ganzheitlich“ soll angedeutet werden, daß die Dimensionsanalyse stets zu Beginn der Problembehandlung bemüht und befragt wurde, so daß die Durchführung und die Auswertung der Versuche jeweils im Sinne ihrer Voraussagen erfolgten.

Die Auseinandersetzung mit dieser Vorgehensweise wird dem Leser nicht nur eine praktische Anleitung zum eigenen Handeln vermitteln, sondern ihm auch den unerwartet hohen Nutzen dieser Methoden vor Augen führen.

Der praktisch interessierte Leser, der ein konkretes Problem zu lösen hat, aber mit der dimensionsanalytischen Vorgehensweise nicht vertraut ist, muß das Buch keineswegs vollständig durchlesen, um sein Problem behandeln zu können. Es genügt zunächst, sich die ersten 50 Seiten des Buches anzueignen, die die Dimensionsanalyse und die Methodik der Kennzahlgewinnung behandeln. Danach wird es vom Vorteil sein, jenes Anwendungsbeispiel genauer zu betrachten, das der fraglichen Problemstellung am nächsten kommt. Daraufhin sollte man jedoch sofort beherzt das eigene Problem dimensionsanalytisch in Angriff nehmen, denn erst die praktische Auseinandersetzung mit einer eigenen Aufgabe schärft das Verständnis für das Nutzen sowie die Leistungsfähigkeit dieser Methode.

In Laufe meiner 35-jährigen praktischen Beschäftigung mit den ähnlichkeitstheoretischen Arbeitsmethoden war mir mein Freund und Kollege, Herr Dr. Juri Pawlowski, ein unschätzbarer Lehrer und Berater. Ihm verdanke ich unzählige Anregungen und Hinweise, so auch bei der Niederschrift dieses Buches. Dafür möchte ich ihm auch an dieser Stelle meinen herzlichen Dank aussprechen.

Mein aufrichtiger Dank gebührt aber auch meinem ehemaligen Arbeitgeber, der Bayer AG, Leverkusen, in dessen „Ingenieur-Abteilung Angewandte Physik“ ich mein ganzes Berufsleben der verfahrenstechnischen Forschung und Entwicklung widmen konnte und der es stets zuließ, daß ich mich neben den Betriebsaufgaben und der Auftragsforschung in einem beträchtlichen Umfang auch der verfahrenstechnischen Grundlagenforschung zuwenden konnte.

Marko Zlokarnik

Vorwort zur 2. Auflage

Die erste deutsche Auflage dieses Buches (Mai 2000) fand eine überraschend gute Aufnahme und wurde im Verlauf des Jahres 2005 ausverkauft. Meinem Vorschlag, statt eines weiteren Nachdrucks eine Neuauflage folgen zu lassen, ist der Verlag WILEY-VCH gerne nachgekommen, wofür ich den dafür verantwortlichen Damen, Frau Dr. Barbara Böck und Frau Karin Sora, auch an dieser Stelle herzlich danke.

Im Verlauf der letzten fünf Jahre habe ich fast drei Dutzend Seminare zu diesem Thema im Haus der Technik/Essen-Berlin-München, bei der DECHEMA/Frankfurt sowie bei verschiedenen Hochschulinstituten und Firmen im deutschsprachigen Raum gehalten. So konnte ich im Kontakt mit jungen Kollegen erfahren, wo die Schwierigkeiten bei der Rezeption des Themas liegen und wie man ihnen didaktisch begegnen kann. Ich habe mich bemüht, diese Erfahrungen in die Neuauflage einfließen zu lassen.

Folgendes ist gegenüber der ersten Auflage hinzugekommen:

1. Das Kapitel „Veränderliche Stoffwerte“ – insbesondere nicht-Newtonsche Flüssigkeiten – wurde vollständig überarbeitet. Neue Beispiele behandeln die Bruchfestigkeit von Feststoffen als Funktion des Partikeldurchmessers, das Weißenbergsche Phänomen bei viskoelastischen Fluiden sowie Koaleszenzphänomene im System G/L.
2. Die Problematik der Miniplants aus der Sicht der Modellübertragung wurde ausführlicher unter die Lupe genommen.
3. Zwei weitere interessante Beispiele betreffen die Dimensionsanalyse des Tablettierprozesses und das Wandern auf dem Mond.
4. Die Beispiele zum stationären Wärmetransport behandeln neben dem in Blasensäulen noch den in Rohren und in Rührbehältern.
5. Die Informationen zum Stofftransport im System G/L wurden neu strukturiert, damit die Unterschiede in der dimensionsanalytischen Behandlung der Oberflächen- und der Volumenbegasung klarer zutage treten.
6. Ein kurzer geschichtlicher Überblick beschreibt die Entwicklung der Dimensionsanalyse und der Modellübertragung.
7. 25 neue Übungsaufgaben mit Lösungen wurden aufgenommen.

Um den Umfang des Buches nicht über Gebühr zu vergrößern, wurden einige Beispiele aus der ersten Auflage, die seltener auftretende Themen behandelten, nicht in die Neuauflage übernommen.

Meinem Freund und Lehrer, Herrn Dr. Juri Pawlowski, möchte ich auch an dieser Stelle meinen herzlichen Dank für seine Unterstützung bei der Neugestaltung einzelner Kapitel, insbesondere der Abschnitte zur Rheologie, aussprechen.

Graz, im August 2005

Marko Zlokarnik

Symbolverzeichnis

Lateinische Zeichen

a volumenbezogene Phasengrenzfläche a ≡ A/V
  Temperaturleitfähigkeit; a ≡ λ/( ρ cp)
A Fläche
c, Δc Konzentration, Konzentrationsdifferenz
c Lichtgeschwindigkeit im Vakuum
cp Wärmekapazität, massebezogene
cs Sättigungskonzentration
d charakteristischer Durchmesser
db Blasendurchmesser, meist als „Sauter-Durchmesser“ d32 formuliert
d32 Sauter-Durchmesser von Gasblasen oder von Tropfen
dp Partikeldurchmesser
D Behälterdurchmesser, Rohrdurchmesser
D Diffusivität
Deff effektiver Dispersionkoeff. (in axialer Richtung)
E Energie
  Beschleunigungsfaktor bei der Chemisorption; Bez. (14.50)
  Aktivierungsenergie bei chem. Reaktionen
  Effizienz des Absorptionsvorganges, Abschn. 10.3.2 und S. 203
f Funktionszeichen
F Kraft
F Feuchtegrad
g Erdbeschleunigung
G Stoffstrom
G Gravitationskonstante
H Höhe
  Dimension der Wärmemenge
J Joulesches mechanisches Wärmeäquivalent
k Reaktionsgeschwindigkeitskonstante
  Wärmedurchgangskoeffizient im Beispiel 24
k Boltzmann-Konstante
kG Stoffübergangskoeff. auf der Gasseite
kL Stoffübergangskoeff. auf der Flüssigkeitsseite
kLa volumenbezogener flüssigkeitsseitiger Stofftransportkoeffizient
kF Flotationsgeschwindigkeitskonstante
K Konsistenzindex in Abschnitt 8.5.1.1
l charakteristische Länge
L Dimension der Länge
m Masse
  Fließ-Index in Abschn. 8.5.1.1
M Dimension der Masse
Mol Maßeinheit der Stoffmenge
n Rührerdrehzahl
N Dimension der Stoffmenge
  Stufenzahl
Nx Normalspannungsdifferenzen (x= 1 oder 2) im Abschnitt 8.5.1.2
p, Δp Druck, Druckverlust
P Leistung, Rührerleistung
q Volumendurchsatz
Q Wärmestrom
r Rang der Dimensionsmatrix
  Reaktionsgeschwindigkeit
R Reaktionswärme
R allgemeine Gaskonstante
S Querschnittsfläche (~ D2)
Si Koaleszenzparameter
t (laufende) Zeit
T Dimension der Zeit
T Temperatur
T absolute Temperatur
u Umfangsgeschwindigkeit (u = pnd)
v Geschwindigkeit, Leerrohrgeschwindigkeit
V Volumen
z Anzahl

Griechische Zeichen

α Wärmeübergangskoeffizient
  Winkel
β Temperaturkoeffizient der Dichte; Bez. (8.8)
  spez. Bruchenergie im Beispiel 31
γ Deformation
γ0 Temperaturkoeffizient der Viskosität; Bez. (8.1)
img Schergeschwindigkeit nach Bez. (8.23)
img Shiftparameter für die Schergeschwindigkeit img, Abschnitt 8.5.1.3
δ Dicke (Film-, Schicht-, Wand-)
ε massebezogene Leistung ε ≡ P/ρV
ε Gasanteil in der Flüssigkeit („hold-up“)
ζ „Widerstandskoeffizient“ bei der Rohrströmung; Bez. (3.8)
η dynamische Viskosität
  Wirkungsgrad des Verdichters oder der Pumpe
H Shiftparameter für die dynamische Viskosität η, Abschnitt 8.5.1.3
θ Zeitdauer
Θ Dimension der Temperatur
  Randwinkel
λ Wärmeleitfähigkeit
  Relaxationszeit nach Bez. (8.30)
  Kolmogorovs Mikromaßstab der Turbulenz im Abschnitt 10.1.3
Λ Makromaßstab der Turbulenz
μ Maßstabsfaktori μ ≡ lT/lM
  Zahlenwert in der bezugsinvarianten Stoff-Funktion, Abschnitt 8.3
ν kinematische Viskosität
ρ Dichte
ρ cp Wärmekapazität, volumenbezogene
σ Grenz- bzw. Oberflächenspannung
  Bruch-/Zugfestigkeit in den Beispielen 13 und 31
τ mittl. Verweilzeit τ = V/q
  Scherspannung nach Bez. (8.23)
τ0 Fließgrenze bei Bingham-Körpern
χ bezugsinvariante Stoff-Funktion, Abschnitt 8.3
φ Anteil (volumen-, Massen-)
ϕ Füllgrad
  Koeffizient der Bruchfestigkeit, Bez. (8.11)

Indices

c kontinuierliche, zusammenhängende Phase
d disperse Phase
e Endzustand
F Flocke
G Gas (gasförmig)
L flüssig (liquid)
min minimale, kleinste
M Modellmaßstab
0 Anfangszustand
P Partikel
s Sättigungswert
  Schichthöhe
S fest (solid), Schaum-
t Zustand zur Zeit t
T technischer Maßstab
w Wand

1

Einführung

Der Verfahrensingenieur, der Chemieingenieur und der technische Chemiker haben es in der Regel mit der technischen Realisierung von Verfahren zu tun, bei denen chemische (oder mikrobiologische) Stoffumwandlungen mit dem Stoff-, Wärme- und Impulsaustausch gekoppelt sind und sich daher im Kleinen (Laboroder Technikumsmaßstab) anders verhalten als im Großen (Betriebsmaßstab). Diese Vorgänge sind maßstabsabhängig. Heterogene Reaktionen sowie die meisten Grundoperationen wie Mischen und Rühren, Sieben und Sichten, Filtrieren und Zentrifugieren, Zerkleinern, Trocknungs- und Brennvorgänge in verschiedensten Ofentypen – um nur einige wenige Beispiele zu nennen – gehören dazu. Es ist deshalb seit jeher ein verständliches Anliegen des technischen Chemikers und des Verfahrensingenieurs, zu wissen, wie man solche Vorgänge im Modell nachzuahmen hat, um Aufschluß über die Auslegung und Dimensionierung einer neu zu errichtenden technischen Anlage zu bekommen. Gelegentlich stellt sich die gleiche Frage auch anders: Es existiert eine großtechnische Anlage, aber diese funktioniert nicht oder nicht zufriedenstellend, und man möchte deshalb durch entsprechende Modellversuche herausfinden, was die Ursache dafür ist und wie man sie beheben kann.

Gleichgültig, ob es sich nun um eine Maßstabsvergrößerung („scale-up“) oder eine Maßstabsverkleinerung („scale-down“) handelt, die vorzunehmende „Modelloder Maßstabsübertragung“ ist immer mit einer Reihe wichtiger Fragen verbunden:

Diese Fragen betreffen die Modelltheorie, welche auf der Dimensionsanalyse beruht. Obwohl diese Grundlagen seit bald einem Jahrhundert eine Selbstverständlichkeit auf dem Gebiet der Strömungslehre und der Wärmeübertragung sind – kein Schiffs- oder Flugkörper, aber auch kein Wärmeaustauscher wird seit Jahren anders als nach diesen Methoden dimensioniert! – haben sie auf den Gebieten der mechanischen, thermischen und chemischen Verfahrenstechnik nur in einem bescheidenen Umfang Eingang gefunden. Die Grunde hierfür wurden bereits im Vorwort dargelegt.

Man kann die Bedeutung der dimensionsanalytischen Methoden für die heutige verfahrenstechnische Praxis durch nichts transparenter machen als durch Anwendungsbeispiele. Deshalb wird in diesem Buch der Schwerpunkt auf die ganzheitliche Behandlung von verfahrenstechnischen Fragestellungen mittels der Dimensionsanalyse gelegt.

Von den mechanischen Verfahren werden beispielhaft das Rühren in homogenen und in begasten Flüssigkeiten sowie das Mischen von Feststoffen behandelt. Weiter kommen zur Sprache das Zerstäuben von Flüssigkeiten mit Düsen, die Herstellung von flüssig/flüssig Emulsionen in Dispergiermaschinen sowie das Zerkleinern von Feststoffen in Kugelmühlen. Als Besonderheiten werden die Auslegungsunterlagen für Flotationsanlagen für die Abwasserreinigung, für die Gasreinigung (Tropfenabscheidung aus Aerosolen durch Trägheitskräfte) sowie für das Trockenschleudern in Filterzentrifungen vorgestellt.

Von den thermischen Verfahrensschritten werden der Stoff- und der Wärmetransport in Rührbehältern und in Blasensäulen behandelt, wobei bei dem Stofftransport im System gasförmig/flüssig ausführlich auf die Berücksichtigung der Koaleszenzphänomene eingegangen wird. Das Problem des gleichzeitigen Stoff- und Wärmetransportes kommt in Verbindung mit der Filmtrocknung zur Sprache.

Aus dem Gebiet der chemischen Reaktionstechnik wird die Durchführung von Gasreaktionen im Strömungsrohr sowie im Festbettreaktor (Feststoffkatalyse) besprochen. Eine maximal mögliche Selektivität läßt sich bei konkurrierenden Folgereaktionen zwischen zwei flüssigen Reaktionspartnern nur dann erreichen, wenn im Reaktionsraum die Rückvermischung von Reaktionsprodukten und -partnern vollständig unterbunden wird. Dafür ist der Rohrreaktor mit Düsenmischer am besten geeignet; seine Dimensionierungsunterlagen werden vorgestellt. In letztem Beispiel dieses Kapitels wird der dimensionsanalytische Rahmen abgesteckt, in dem sich die Auswirkung der Stofftransportlimitierung auf die Reaktionsgeschwindigkeit von schnellen Reaktionen im Stoffsystem Gas/Flüssigkeit anschaulich darstellen läßt.

Im vorletzten, kurzen Kapitel wird an einigen Beispielen gezeigt, daß man auch Bewegungsvorgänge in belebter Natur im Sinne der Dimensionsanalyse beschreiben und die Geltungsbereiche für die zutreffenden pi-Größen angeben kann. Die Vorgänge in der Natur unterliegen ja den gleichen physikalischen Rahmenbedingungen (Einschränkungen) wie die in der Welt der Technik.

2

Dimensionsanalyse

2.1 Grundlage

Die Dimensionsanalyse gründet sich auf der Erkenntnis, daß eine mathematische Beziehung, die ein chemisch- oder physikalisch-technisches Problem beschreibt, dimensionshomogen formuliert sein muß, wenn sie allgemein, d. h. im beliebigen Dimensionssystem gültig sein soll.

2.2 Was ist eine Dimension?

Eine Dimension ist eine rein qualitative Beschreibung einer physikalischen Eigenschaft bzw. Erscheinungsform: Eine Länge kann sich als Breite, Tiefe oder Höhe darstellen, eine Masse als ein leichter oder schwerer Körper, eine Zeit als ein kurzer oder langer Augenblick, usw. Die Dimension einer Länge ist die Länge (L), die Dimension einer Masse ist die Masse (M), usw.

Jedem physikalischen Begriff kann man eine Größenart und jeder Größenart eine Dimension zuordnen. Dabei kommt vor, daß verschiedene Größenarten ein und dieselbe Dimension aufweisen. Beispiel: Die Diffusivität D, die Temperaturleitfähigkeit a und die kinematische Viskosität v haben die gleiche Dimension [L2 T−1].

2.3 Was ist eine physikalische Größe?

Im Gegensatz zur Dimension ist eine physikalische Größe eine quantitative Beschreibung einer physikalischen Eigenschaft:

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Beispiel: Eine Masse von 5 kg: m = 5 kg. Die Maßeinheit der Länge kann z. B. ein Meter, ein Fuß, eine Elle, eine nautische Meile, ein astronomisches Jahr, usw. sein. Die Maßeinheiten der Energie sind z. B. Joule, cal, eV, usw. (Deswegen muß man sich in einem Maßeinheitensystem diesbezüglich festlegen.)

2.4 Grundgrößen und abgeleitete Größen; Dimensionskonstanten

Man unterscheidet zwischen den Grund- oder Basisgrößen und den aus ihnen abgeleiteten, sekundären Größen. Die Grundgrößenarten werden per Definition festgelegt; nach dem heute gültigen Système International d’Unités (SI) gehört dazu z. B. die Masse und nicht die Kraft wie noch vor 40 Jahren!

Die abgeleiteten Größen werden aus den Grundgrößen nach Maßgabe eines physikalischen Gesetzes oder Vorganges gebildet. So wird z. B. die Geschwindigkeit v als Länge pro Zeit definiert: [v] = L/T, ihre kohärente Maßeinheit ist m/s. Kohärenz der Maßeinheiten bedeutet, daß sekundäre Größen nur solche Maßeinheiten haben dürfen, die mit den per definitionem festgesetzten Maßeinheiten der Grundgrößen im Einklang sind und sich daher als Potenzprodukte der Grundmaßeinheiten darstellen. Angaben der Geschwindigkeit in mph (miles/hour) oder in km/h verstoßen dagegen!

Wird eine abgeleitete Größe durch ein physikalisches Gesetz festgelegt, kann es vorkommen, daß sie mit einem anderen physikalischen Gesetz in Widerspruch gerät.

Beispiel a

Nach dem 2. Newtonschen Gesetz wird die Kraft F als das Produkt aus Masse und Beschleunigung definiert: F = m a. Sie besitzt die Dimension [M L T−2]. Dies wäre im Widerspruch mit dem Newtonschen Gravitationsgesetz: F ~ m1 m2/r2, wonach die Kraft die Dimension [M2 L−2] haben würde, deshalb mußte hier die Gravitationskonstante G – eine Dimensionskonstante – eingeführt werden, um die Dimensionshomogenität der Beziehung zu gewährleisten: F = G m1 m2/r2.

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Beispiel b

für diesen Sachverhalt ist die Einführung der allgemeinen Gaskonstante R, welche sicherstellt, daß in der Beziehung p V = n R T die bereits festgelegte sekundäre Dimension für die Arbeit W = p V [M L2 T−2] nicht verletzt wird.

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Zu den abgeleiteten, sekundären physikalischen Größen gehören z. B. auch die Koeffizienten in den Transportbeziehungen für Impuls, Stoff und Wärme. Auch sie sind mit der jeweiligen physikalischen Beziehung festgelegt („Definitionsgrößen“) und nur über ihre Konstituenten bestimmbar. Insbesondere in der Verfahrenstechnik kommt es noch heute vor, daß neue sekundäre Größen eingeführt werden müssen. Man ist jedoch stets in der Lage, für sie die Dimension und die kohärente Maßeinheit festzulegen; Beispiel: volumenbezogener flüssigkeitsseitiger Stofftransportkoeffizient kLa [T−1].

2.5 Dimensionssysteme

Ein Dimensionssystem besteht aus allen primären und auf ihnen aufgebauten sekundären Dimensionen mit den dazugehörenden kohärenten Maßeinheiten. Das heute gültige Système International d’Unités (SI) basiert auf sieben Grunddimensionen; diese sind in der zusammen mit ihren Grundmaßeinheiten angegeben. verweist darauf, daß einige häufig verwendete sekundäre Maßeinheiten nach berühmten Forschern benannt sind. Diese sind insbesondere in der Elektrotechnik häufig anzutreffen (Beispiele: Coulomb, Farad, Henry, Hertz, Ohm, Siemens, Tesla, Volt, Weber). listet nur jene auf, die in der Mechanik und somit in der mechanischen Verfahrenstechnik vorkommen.Verfahrenstechnik vorkommen.

Grundgrößenarten und ihre Dimensionen gemäß dem heute gültigen Dimensionssystem SI

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Nach bedeutenden Forschern benannte sekundäre Maßeinheiten der Mechanik

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In der sind die wichtigsten sekundären Dimensionen der mechanischen und thermischen Verfahrenstechnik aufgeführt.

Häufig verwendete sekundäre Größenarten und ihre Dimensionen im heute gültigen SI für mechanische und thermische Fragestellungen

Größenart Dimension
Fläche L2
Volumen L3
Winkelgeschwindigkeit  
Deformationsgeschw. T−1
Frequenz  
Geschwindigkeit LT−1
Beschleunigung LT−2
kinemat. Viskosität  
Diffusionskoeffizient L2T−1
Temperaturleitfähigkeit  
Dichte M L−3
Oberflächenspannung MT−2
Dynamische Viskosität M L−1T−1
Impuls M LT−1
Kraft M LT−2
Druck, Spannung M L−1T−2
Drehimpuls M L2T−1
Mechanische Energie  
Arbeit, Drehmoment M L2T−2
Leistung M L2T−3
Spezifische Wärme L2 T−2 Θ-1
Wärmeleitfähigkeit M LT−3 Θ−1
Wärmeübergangskoeff. MT−3 Θ−1

Treten bei der Formulierung von Problemstellungen in den Dimensionen der beteiligten Größen nur die Grunddimensionen [M, L, T] auf, handelt es sich um mechanische Fragestellungen, beim Auftreten von [Θ] um einen thermischen und beim Vorhandensein von [N] um einen chemischen Sachverhalt. Zum letzten ist eine Anmerkung notwendig.

Bei chemischen Reaktionen reagieren die Atome bzw. Moleküle der Reaktanden und nicht deren Massen miteinander. Deren Anzahl (Menge) ergibt sich aus der Masse eines Stoffs gemäß seiner Molmasse. Ein Mol (SI-Einheit: mol) einer chemisch reinen Substanz enthält NA = 6,022 · 1023 Objekte (Atome, Moleküle). Man gewinnt die Angabe über die Stoffmenge n, indem man die Masse einer chemisch reinen Verbindung durch ihre Molmasse dividiert. Konkret gesagt: Bei einer Gasreaktion zwischen Wasserstoff und Chlor reagiert gemäß der Gleichung

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ein Mol Wasserstoff mit einem Mol Chlor und bildet zwei Mole Chlorwasserstoff. Dabei ist es völlig unerheblich, daß in bezug auf Masse 2 g H2 mit 71 g Cl2 zu 73 g HCl reagiert haben.

2.6 Dimensionshomogenität einer physikalischen Beziehung

Es wurde darauf hingewiesen, daß eine Beziehung, die ein chemisches oder ein physikalisches Problem beschreibt, dimensionshomogen formuliert werden muß, wenn sie allgemein gültig sein soll (Abschnitt 2.1). Die Aufgabe der Dimensionsanalyse besteht daher darin, zu überprüfen, ob ein zu erarbeitender physikalischer Zusammenhang dimensionshomogen formuliert werden kann. Die dazu nötige Prozedur besteht aus zwei Schritten:

a) Zunächst werden alle Parameter aufgelistet, mit denen das Problem beschrieben wird. Diese sog. Relevanzliste des Problems besteht aus der (in der Regel einzigen) gesuchten Zielgröße und aus den sie beeinflussenden Parametern (Einflußgrößen). Die Zielgröße ist die einzige abhängige Größe und die Einflußgrößen sollten untereinander linear unabhängig sein. Beispiel: Von den Stoffgrößen η, v, ρ sollten nur zwei gewählt werden, weil sie miteinander definitionsmäßig gekoppelt sind: v ≡ η / ρ.
b) In einem zweiten Schritt wird dann die Dimensionshomogenität des Zusammenhanges zwischen diesen Größen überprüft, indem dieser dimensionslos formuliert wird. Dies ist die Grundlage des sog. pi-Theorems (vgl. Abschnitt 2.7), in dem die Dimensionshomogenität auf die dimensionslose Darstellbarkeit von physikalischen Sachverhalten hinausläuft.

Merke: Eine dimensionslose Abhängigkeit ist dimensionshomogen!

Das bisher Gesagte wird im folgenden an drei Beispielen transparent gemacht.

Beispiel 1: Wovon hängt die Schwingungsperiode θ eines Pendels ab? [15]

Zeichnen wir uns zuerst eine Skizze des Pendels und schreiben alle Größen auf, die an der Fragestellung beteiligt sein können! Die Schwingungsperiode θ eines Pendels wird möglicherweise von der Länge 1 des Pendels, von seiner Masse m, von der Erdbeschleunigung g und von der Amplitude a abhängen.

Größe Symbol Dim.
Schwingungsperiode θ T
Länge des Pendels l L
Masse des Pendels m M
Erdbeschleunigung g LT−2
Amplitude (Winkel) a
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Unsere Aufgabe wird es sein, θ als Funktion von l, m, g und a zu ermitteln:

(2.1) img

Wird diese Funktion dimensionshomogen sein? Nein! Wir stellen fest, daß die Grunddimension der Masse M nur in der Masse m selbst vorkommt. Bei einer Änderung deren Maßeinheit (z. B. von kg zu Pfund lb) würde sich der Zahlenwert der Funktion ändern. Das darf nicht sein; entweder haben wir eine weitere, M enthaltende Einflußgröße bei der Auflistung vergessen oder aber die Masse ist gar keine Einflußgröße. Wir nehmen vereinfachend) das zweite an, womit sich die obige Abhängigkeit auf den Zusammenhang reduziert:

(2.2) img

Sowohl l als auch g enthalten die Grunddimension der Länge L. In der Kombination l/g werden sie in bezug auf L dimensionslos und hiermit von der Änderung der Grundmaßeinheit der Länge unabhängig sein:

(2.3) img

Links des Gleichheitszeichens steht die Dimension T, rechts aber T2. Die f-Funktion muß so beschaffen sein, daß auch rechts T steht: Da l/g die Dimension T2 hat, wird dies durch img erreicht. Dieser Ausdruck wird seine Dimension nur dann behalten, wenn er als Konstante vor f gestellt wird. Da a ohnehin dimensionslos ist, erhalten wir als Endergebnis der Dimensionsanalyse die Abhängigkeit:

(2 .4) img

Der Zusammenhang zwischen vier Größen, die in ihren Dimensionen zwei Grunddimensionen (L und T) enthalten, reduziert sich auf eine 4 – 2 = 2-parametrige Abhängigkeit zwischen Kennzahlen!

Dieser Zusammenhang ist die einzige Aussage, die die Dimensionsanalyse zu geben vermag; eine Information über die Form von f ist mittels der Dimensionsanalyse nicht zu gewinnen. (Die Integration der Newtonschen Bewegungsgleichung für das Pendel liefert für kleine Schwingungen f (a) = 2 π. Die Schwingungsperiode θ ist dann von a unabhängig.) Die obige Beziehung kann man daher schreiben:

(2 .5) img

Der linke Ausdruck ist eine dimensionslose Kennzahl, deren Zahlenwert 2π ist.

Die elegante Lösung dieses Problems darf nicht zu der Ansicht verleiten, man könne mittels Dimensionsanalyse jede Aufgabe am Schreibtisch lösen. Um das vorgestellte Beispiel dimensionsanalytisch behandeln zu können, war die Kenntnis der Erdbeschleunigung g = 9,81 m/s2 nötig, die sich aus dem Gravitationsgesetz berechnen läßt. Dieses hatte Sir Isaac Newton im Jahre 1665 aus den Keplerschen Gesetzen der Planetenbewegung hergeleitet. Bridgman [15] umschreibt diesen Sachverhalt mit folgender Anmerkung besonders treffend:

„The problem cannot be solved by the philosopher in his armchair, but the knowledge involved was gathered only by someone at some time soiling his hands with direct contact“.

(Das Problem kann nicht vom Philosophen im Lehnstuhl gelöst werden; das nötige Wissen konnte nur jemand erarbeitet haben, der sich seine Hände im direkten Kontakt beschmutzte.)

Mancher Leser mag den Befund, daß die Schwingungsperiode nicht von der Pendelmasse abhängt, mit Unglauben quittiert haben. Er sei darauf hingewiesen, daß dies bereits G. Galilei um das Jahr 1602 durch einen einfachen Versuch verifizierte [7]: Er baute sich einen Galgen, auf dem nebeneinander vier Pendel von gleicher Länge, aber unterschiedlicher Masse aufgehängt waren. So konnten alle vier Pendel gleichzeitig im gleichen Winkel ausgelenkt und losgelassen werden. Es ergab sich, daß die Schwingungsperiode tatsächlich von der Pendelmasse unabhängig ist. (Der Nachbau dieser Versuchsanordnung befindet sich in der Abteilung für Physik der Universität von Padua.)

Beispiel 2 Wovon hängt die Falldauer θ eines Körpers im homogenen Gravitationsfeld ab (Gesetz des freien Falls)? Wovon hängt die Ausflußgeschwindigkeit v einer Flüssigkeit aus einem Gefäß mit Öffnung ab (Torricellische Ausflußformel)?

Dieses Beispiel betrifft zwei weitere bekannte physikalische Gesetze und zeigt – wie das erste Beispiel auch –, daß man wichtige Informationen oft allein aus deren dimensionsanalytischen Behandlung erhalten kann, ohne Versuche durchzuführen.

Betrachten wir zunächst den freien Fall. (Hier erübrigt sich das Zeichnen einer Skizze!) Die Falldauer θ wird von der Fallstrecke h und von der Erdbeschleunigung g abhängen. Die Masse m des Körpers muß hinsichtlich der Dimensionsanalyse irrelevant sein, weil die Grunddimension M bei dieser Fragestellung nur in der Masse enthalten ist und deshalb nicht eliminiert werden könnte. (Wie im Beispiel 1 gehen wir davon aus, daß der Reibungswiderstand der Luft – bedingt durch ihre Dichte und Viskosität – vernachlässigbar ist; wir arbeiten im Vakuum.)

Für den freien Fall hat sich Galilei die Irrelevanz der Masse aus einem Gedankenexperiment erschlossen, das er in seiner Schrift „De motu“ bereits um das Jahr 1590 erwähnte, wobei er sich auf die Aussagen des italienischen Physikers G. B. Benedetti stützte [70]. Seine Überlegung war wie folgt: Wenn die Fallgeschwindigkeit der Körpermasse proportional wäre, fiele ein Körper mit doppelter Masse doppelt so schnell wie einer mit der einfachen Masse. Wären beide mit einem Faden verbunden, so würde der leichtere Körper den schwereren beim Fall abbremsen; der Verband fiele also langsamer. Wenn man aber den Abstand zwischen den beiden Körpern so weit verkürzte, daß ein Körper von dreifacher Masse entstünde, dürfte dieser nun wieder schneller als der doppelt so schwere fallen. Dieser Widerspruch belegt, daß es beim Fallvorgang nicht auf die Körpermasse ankommen darf.

Somit folgt die Relevanzliste dieser Fragestellung zu

(2 .6) img

Diese drei Größen enthalten nur zwei Grunddimensionen [L, T], mit ihnen kann nur ein einziges dimensionsloses Produkt gebildet werden:

(2 .7) img

Daraus ergeben sich für die Falldauer θ bzw. für die Endgeschwindigkeit vend = g θ die Ausdrücke:

(2 .8) img

Über den Zahlenwert der Konstanten kann die Dimensionsanalyse nichts aussagen. Diese müssen in der Regel über den Versuch ermittelt werden. Der vorliegende Fall läßt sich mathematisch behandeln; den Zahlenwert der beiden Konstanten erhält man durch Integration der Newtonschen Bewegungsgleichung

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mit den Integrationsbedingungen

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Sie erweisen sich als gleich und führen zum Endergebnis

(2 .9) img

Nun betrachten wir den Ausfluß einer Flüssigkeit aus einem Behälter. Dabei unterscheiden wir zwischen einem reibungsfreien und einem nicht reibungsfreien Ausfluß und zeichnen entsprechend zwei Skizzen.

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Beim reibungsfreiem Ausfluß (Skizze A) einer Flüssigkeit aus dem Behälter erhalten wir die gleichen Beziehungen wie beim freien Fall, wenn an der Ausflußstelle die potentielle Energie der Flüssigkeit (ihr hydrostatischer Druck)

(2 .10) img

und ihre dynamische Energie (Druckverlust Δp in der Öffnung)

(2 .11) img

gleichgesetzt werden:

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Diese Beziehung heißt die Torricellische Ausflußformel. Der dimensionslose Ausdruck

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wird die Euler-Kennzahl Eu genannt.

Bei einem nicht reibungsfreien Ausfluß (Skizze B; der Öffnung sei z. B. ein Rohr mit dem Durchmesser d und der Länge l nachgeschaltet) wird die kinematische Viskosität v der Flüssigkeit zur wichtigen stofflichen Einflußgröße. (Diese konnte beim Ausfluß der Flüssigkeit durch eine dünnwandige Öffnung nicht zur Wirkung kommen!) Die ursprüngliche Relevanzliste {v, g, h}, die zur Bez. () bzw. () führte, wird um die beiden geometrischen Parameter d und l sowie um die stoffliche Größe v zu {v, g, h, d, 1, v} erweitert. Wir nehmen die geometrische Kennzahl l/d vorweg und erkennen, daß v in Kombination mit v und d dimensionslos gemacht werden kann. Wir erhalten somit den Kennzahlensatz

(2 .14) img

in dem mit Re die Reynolds-Kennzahl bezeichnet wird. Daraus folgt

(2 .15) img

Das Wesen der Modellübertragung wird an einer etwas komplizierteren Fragestellung deutlich gemacht:

Beispiel 3: Zusammenhang zwischen der Größe des Bratens und der Bratzeit

Wir müssen uns zunächst den physikalischen Sachverhalt vergegenwärtigen und skizzieren deshalb die Situation. Bei hohen Ofentemperaturen wird die Wärme von der Heizoberfläche zur Oberfläche des Bratstücks durch Wärmestrahlung und -konvektion übertragen. Von dort aus erfolgt der Wärmetransport lediglich durch die instationäre Wärmeleitung im festen Körper, die sicherlich den geschwindigkeitsbestimmenden Schritt des Wärmetransportvorgangs darstellt.

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Die Wärme breitet sich um so schneller im Körper aus, je größer seine Wärmeleitfähigkeit λ und je kleiner seine volumenbezogene Wärmekapazität ρcp ist. Daher wird die instationäre Wärmeleitung bekanntlich durch eine einzige stoffliche Größe, nämlich die Temperaturleitfähigkeit a ≡ λ/ρcp [L2 T−1], charakterisiert.

Das Braten ist ein endothermer Vorgang. Das Fleisch ist gar, wenn in ihm eine bestimmte Temperaturverteilung (T) erreicht ist. Es geht um die Zeitdauer θ, welche notwendig ist, damit sich dieses Temperaturfeld einstellt.

Nach diesen Überlegungen können wir die Relevanzliste des Problems leicht und sicher aufstellen:

Größe Symbol Dim.
Bratzeit θ T
Bratenoberfläche A L2
Temperaturleitfähigkeit a L2 T−1
Oberflächentemperatur T0 Θ
Temperaturverteilung T Θ

Die Grunddimension Temperatur Θ tritt lediglich in zwei Parametern auf; diese werden daher als Quotient eine dimensionslose Größe bilden:

(2 .16) img

Die übrigen drei Größen bilden eine zweite dimensionslose Größe :

(2 .17) img

Π2 ist in der Wärmelehre als die Fourier-Kennzahl Fo bekannt. Somit wird der Bratvorgang in einem zweidimensionalen pi-Raum dargestellt:

(2 .18) img

In diesem Fall bilden die fünf dimensionsbehafteten Größen zwei Kennzahlen. Dies war zu erwarten, weil in ihren Dimensionen drei Grunddimensionen enthalten sind: 5 – 3 = 2.

Nun können wir die Frage nach dem Zusammenhang zwischen der Bratzeit und der Größe des Bratens leicht beantworten, ohne die Funktion, die diese beiden Größen verbindet, explizit zu kennen: Damit in verschieden großen Bratstücken die gleiche relative Temperaturverteilung T/T0 oder (T0T)/T0 erreicht wird, muß auch die dimensionslose Größe a θ/A den gleichen Zahlenwert (= idem) aufweisen. Da die Temperaturleitfähigkeit a beim Fleisch gleicher Tierart identisch ist (a = idem), läuft diese Forderung auf

(2 .19) img

hinaus.

Diese Aussage ist als Maßstabsübertragungsregel deshalb unbrauchbar, weil man Fleisch nach Gewicht und nicht nach Oberfläche kauft.

Bei geometrisch ähnlichen Körpern besteht zwischen Masse m, Oberfläche A und Volumen V folgender Zusammenhang:

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Somit gilt bei ρ = idem

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(2 .20) img

Dies ist die Maßstabsübertragungsregel für die Bratzeit bei a, ρ = idem. Sie besagt, daß eine Verdoppelung der Masse des Bratens die Bratzeit um den Faktor 22/3 = 1,58 verlängert.

G. B. West [158] verweist darauf, daß dieser Sachverhalt in „besseren“ Kochbüchern voll bestätigt wird (für einen Truthahn soll im Bereich m = 2–10 kg gelten: θ ~ m0,6) während sich „schlechtere“ Kochbücher meist mit dem Hinweis auf „20 min pro Pfund“ begnügen!

Mit diesen drei einfachen Beispielen wird gezeigt, auf welche Weise die Dimensionsanalyse die Probleme behandelt und welche Aussagen sie ermöglicht. Man wird jetzt die sarkastische Bemerkung von Lord Rayleigh besser verstehen können, die er seinem kurzen Aufsatz mit dem Titel „The Principle of Similitude“ [118] voranstellte. Sie lautet:

„I have often been impressed by the scanty attention paid even by original workers in physics to the great principle of similitude. It happens not infrequently that results in the form of „laws“ are put forward as novelties on the basis of elaborate experiments, which might have been predicted a priori after a few minutes’ consideration“.

(Ich werde oft beeindruckt von der dürftigen Aufmerksamkeit, die sogar die Erforscher der physikalischen Grundlagen dem großartigen Ähnlichkeitsprinzip entgegenbringen. Es passiert nicht selten, daß Ergebnisse sorgfältiger Messungen in Form von „Gesetzen“ unterbreitet werden, die man nach kurzer Überlegung a priori vorausgesagt haben könnte.)

Wir haben bei diesen transparenten Beispielen gesehen, daß die Dimensionsanalyse den Sachverhalt dimensionslos zu formulieren gestattet, wobei eine wesentliche Komprimierung der Aussage erreicht wird: Die Menge der gebildeten Kennzahlen ist kleiner als die sie bildenden Größen, beschreibt aber das Problem ebenso vollständig! Damit wird das sog. pi-Theorem (pi von Π, dem Zeichen für Produkt) belegt, welches folgendes besagt:

2.7 Das pi-Theorem

Zum Stichwort „Reduktion der Matrix“ s. Beispiel 5; für mathematische Beweise des pi-Theorems s. Pawlowski [103] und Görtler [36].

Das pi-Theorem wird oft mit dem Namen Buckingham assoziiert. E. Buckingham hat sich allerdings nur für die Popularisierung dieser Methode große Verdienste erworben, während ihre Wurzeln auf andere Mathematiker zurückgehen (s. hierzu Kapitel 16, Abschnitt 16.1).

Der erste bedeutende Vorteil der Anwendung der Dimensionsanalyse besteht in der wesentlichen Komprimierung der Aussage. Der zweite bedeutende Vorteil ihrer Anwendung, die Sicherung einer verbindlichen Maßstabsübertragung, wird in den nächsten beiden Beispielen überzeugend vor Augen geführt.

. Man würde beim realen Pendel die Dichte und die Viskosität der Luft mit in die Relevanzliste aufnehmen müssen – beide enthalten in ihren Dimensionen die Masse –, nur würde man damit das Problem an dieser Stelle unnötigerweise erschweren. Wir wollen deshalb ein mathematisches Pendel mit punktueller Masse im Vakuum betrachten.

3

Erarbeitung von pi-Sätzen mittels Matrizenumformung

In der Regel werden zur Darstellung eines physikalisch-technischen Sachverhaltes mehr als zwei Kennzahlen benötigt, und diese lassen sich auf die bisher vorgestellte Weise nicht mehr gewinnen. Die klassische Methode bestand in der Lösung eines Systems von linearen algebraischen Gleichungen. Diese wurden für jede Grunddimension einzeln aus den Exponenten gebildet, mit denen sie in den physikalischen Größen auftraten. Diese relativ umständliche Methode wurde von J. Pawlowski [103] durch eine einfache und übersichtliche Matrizenumformung („Äquivalenztransformation“) ersetzt, die im folgenden Beispiel ausführlich vorgestellt wird.

Beispiel 4: Druckverlust eines homogenen Fluids im geraden glatten Rohr (ohne Berücksichtigung der Einlaufeffekte)

Die Relevanzliste setzt sich hier wie folgt zusammen:

Zielgröße: Druckverlust Δp
geometrische Parameter: Durchmesser d und Länge l des Rohres
stoffliche Parameter: Dichte ρ und kinematische Viskosität v des Fluids
prozeßbedingte Parameter: Volumendurchsatz q

(3.1) img

Aus den Dimensionen dieser Größen wird eine Dimensionsmatrix gebildet. Ihre Spalten sind den einzelnen physikalischen Größen zugeordnet und die Zeilen geben die Exponenten an, mit denen die Grunddimensionen in der jeweiligen Dimension der Größe auftreten (Beispiel: Δp [M1 L−1 T−2]). Diese Dimensionsmatrix wird in eine quadratische Kernmatrix und eine Restmatrix unterteilt, wobei der Rang r der Matrix (hier r = 3) in den meisten Fällen von der Anzahl der Grunddimensionen bestimmt wird, die in den physikalischen Größen auftreten.

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Diese Dimensionsmatrix ist in Hinblick auf die nun folgenden Verfahrensschritte ungünstig aufgestellt. Man muß nämlich wissen, daß die einzelnen Elemente der Restmatrix jeweils als Zähler in jeweils nur einer Kennzahl auftreten werden, während die Elemente der Kernmatrix sozusagen als „Füllgrößen“ in den Nennern aller Kennzahlen vorkommen können. Deswegen sollte man die Restmatrix bevorzugt mit wesentlichen Größen bestücken, wie es z. B. die Zielgröße und die wichtigsten Stoff- und Prozeßparameter sind. (Allerdings gehören in diese Menge auch jene Parameter, deren Einfluß auf den Prozeß noch nicht erwiesen ist. Im Falle, daß sie sich als irrelevant erweisen, braucht nämlich nur jene Kennzahl gestrichen zu werden, in der sie vorkommen, während die übrigen davon unbehelligt bleiben.)

Da die Kernmatrix in eine Einheitsmatrix (nullfreie Hauptdiagonale, sonst nur Nullen) überführt werden muß, empfiehlt es sich, die Füllgrößen in ihr so anzuordnen, daß dieses Ziel mit einem Minimum an Lineartransformationen erreicht wird.

Beide Forderungen werden durch die entsprechende Umstellung der Größen in der Dimensionsmatrix erfüllt:

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Nun wird durch die erste Lineartransformation der Zeilen der sog. Gaußsche Algorithmus durchgeführt (nullfreie Hauptdiagonale, darunter nur Nullen). Mit ihm wird der Rang der Matrix festgelegt: Der Rang r = 3 der Matrix wird bestätigt.

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Bei diesem Vorgehen könnte es allerdings passieren, daß eine nullfreie Diagonale nicht entstanden ist. Bevor man den Schluß zieht, daß der Rang tatsächlich r < 3 ist, sollte geprüft werden, ob durch eine andere Besetzung der Kernmatrix die durchgehende nullfreie Diagonale erreicht wird.

Durch eine einzige weitere Lineartransformation der Zeilen wird die Kernmatrix in die Einheitsmatrix überführt:

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Bei der Bildung der Kennzahlen bildet jedes Element der Restmatrix den Zähler eines Bruches, in dessen Nenner die „Füllgrößen“ der Einheitsmatrix mit dem jeweils zugehörigen Exponenten auftreten:

(3.2) img

Die Kennzahl Πl als Ziel-Kennzahl mit Δp ist nicht üblich. Durch Kombination der Kennzahlen Πl und Π2

(3.3) img

wird die bekannte Euler-Kennzahl Eu gewonnen. Diese koppelt man mit Π3 = 1/d, um so eine intensiv formulierte Ziel-Kennzahl zu erhalten. Damit wird dem Umstand Rechnung getragen, daß bei hinlänglich langen Rohren (vernachlässigbare Einlaufeffekte) Δp ~ 1 ist. Diese Kennzahl-Kombination wird im folgenden mit dem Kürzel ζ bezeichnet:

(3.4) img

In der deutschen Fachliteratur wird ζ als „Widerstandsbeiwert“ oder gar als „Reibungskoeffizient“ λ bezeichnet. Diese Bezeichnungen sind irreführend, weil es sich bei ζ ≡ Eu d/l um eine dimensionslose Kennzahl handelt, während „Koeffizienten“ Dimensionskonstanten sind.

Merke: Das pi-Theorem legt nur die Anzahl der dimensionslosen Ausdrücke (Kennzahlen) fest, nicht jedoch deren Form. Diese wird vom Anwender festgelegt, denn sie muß der Physik des Vorganges angepaßt sein und sich zum Auswerten und Darstellen der Versuchsergebnisse gut eignen.

Die Struktur der gewonnenen Kennzahlen hängt nämlich davon ab, mit welchen Größen die Kernmatrix gebildet wird; die im obigen Beispiel durch Kombination von Π1 und Π2 gewonnene Euler-Kennzahl hätte sich z. B. zwangsläufig ergeben, wenn in der Kernmatrix q mit v vertauscht gewesen wäre.

Merke: Alle Π-Sätze, die aus der gleichen Relevanzliste gewonnen werden, sind einander äquivalent und ineinander durch Potenzprodukte überfuhrbar!