Inhaltsverzeichnis
Vorwort
Wichtige Formelzeichen
Teil I Theoretische Grundlagen der Rheologie
1 Theoretische Grundlagen
Teil II Technische Anwendungen der Rheologie
2 Allgemeine Grundbegriffe
2.1 Ableitungen
2.2 Materielle Objektivität
2.3 Bilanzen in algebraischer Darstellung
2.4 Die Massenbilanz in Koordinatenform
2.5 Die Impulsbilanz in Koordinatenform
2.6 Symmetrie des Spannungstensors
2.7 Temperatur- und Druckabhängigkeit der Viskosität
2.8 Scheinbare Viskosität
2.9 Repräsentative Viskosität
2.10 Repräsentativer Radius bei Rohrströmungen
2.11 Dehnviskosität
2.12 Volumenviskosität
2.13 Fließmodelle
2.14 Kriechfunktion und Relaxationsfunktion
2.15 Instationäres Fließen
2.16 Jeffreys-Oldroyd-Substanz bei Schichtenströmungen
3 Rheometrie
3.1 Rohr-Rheometer
3.2 Couette-Rheometer
3.3 Kegel-Platte-Rheometer
3.4 Kugel-Kugel-Rheometer
3.5 Scheiben-Rheometer
4 Rohrströmung
4.1 Ostwald-de-Waele-Fluide
4.2 Rabinowitsch-Fluide
4.3 Prandtl-Eyring-Fluide
4.4 Bingham-Substanzen im waagrechten Rohr
4.5 Bingham-Substanz in senkrechtem Rohr
4.6 Newtonsche Fluide im koaxialen Ringrohr
4.7 Ostwald-de-Waele-Fluide im koaxialen Ringrohr
4.8 Bypass mit Potenzflüssigkeit
4.9 Blutströmung
4.10 Repräsentative Viskosität für Fließgesetze
4.11 Druckverlustrechnung eines Potenzfluids
4.12 Pumpleistung für eine Bingham-Substanz
4.13 Elementare Berechnung der repräsentativen Viskosität
4.14 Pipelinekalkulation
4.15 Maxwell-Fluide
4.16 Freistrahl
4.17 Rohrströmung bei poröser Wand
4.18 Drahtisolierung
4.19 Kennzahlen für eine Rabinowitsch-Flüssigkeit
4.20 Scale-up
5 Strömungen in Rührwerken
5.1 Zylinderrührwerk
5.2 Bingham-Substanz
5.3 Prandtl-Eyring-Flüssigkeit
5.4 Auslaufvorgang
5.5 Elementare Leistungsberechnung
5.6 Rührkesselreaktor
5.7 Lagerkräfte
5.8 Modellübertragung
5.9 Scale-up
6 Strömungen in unterschiedlichen Geometrien
6.1 Strömung zwischen parallelen Ebenen
6.2 Radialströmung in einem Scheibenspalt
6.3 Ostwald-de-Waele-Fluide auf schiefer Ebene
6.4 Bingham-Flüssigkeit auf schiefer Ebene
6.5 Strömung durch eine Kreisdüse
6.6 Strömung durch eine Breitschlitzdüse
6.7 Repräsentative Werte für den Rechteckkanal
6.8 Bingham-Substanz in Extrudern
6.9 Rabinowitsch-Flüssigkeit in Extrudern
6.10 Extruderwerkzeuge
6.11 Kalanderströmung
6.12 Strömung durch eine hyperboloidische Verengung
6.13 Strömung durch einen Hyperbelspalt
7 Wärmeübertragungsprobleme an rheologischen Medien
7.1 Wärmeübergang von einer beheizten Behälterwand an eine Rabinowitsch-Flüssigkeit
7.2 Wärmeübergang von einer beheizten Rohrwand an eine durchströmende Prandtl-Eyring-Flüssigkeit
7.3 Wärmeübertragungscharakteristik für Ostwald-de-Waele-Flüssigkeiten in beheizten Rohren
7.4 Wärmeübertragungscharakteristik für Bingham-Substanzen in beheizten Rohren
Glossar
Literatur
Antworten auf die Fragen zur Selbstkontrolle
Index
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Autor
Prof. Dr.-Ing. Rüdiger Worthoff
Aachen
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Druck und Bindung Markono Print Media Pte Ltd, Singapore
Fast alle Apparate und Anlagen der chemischen Technologie sind durchströmt oder erzeugen selbst Strömungen. Dabei zeigen die zu verarbeitenden Medien im Fall einer Flüssigkeitsströmung oft ein nichtnewtonsches Verhalten. Insbesondere durch viskoelastische Eigenschaften werden Strömungsanomalien erzeugt, die den Produktionsablauf entscheidend stören können. Auch das im Allgemeinen nichtlineare Stoffverhalten der beschreibenden Parameter hat beispielsweise bei der mathematischen Lösung der Bilanzgleichungen zu einer hohen Komplexizität beigetragen. Hinzu kommt, dass rheologische Substanzen oft ein Erinnerungsvermögen an Belastungs- und Strömungszustände der Vergangenheit entwickeln. Dies hat zu einer allgemeinen Forschungstätigkeit auf dem Feld der theoretischen Rheologie geführt. In diesem Buch wird – nach einer kurzen Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen – die „Technische Rheologie“ in Fragen und Antworten abgehandelt, wobei das Ziel ist, eine praxisnahe und anschauliche Darstellung über das Stoffverhalten zu geben. An Hand ausgewählter Beispiele soll der Lehrstoff verdeutlicht werden. Dabei wird ausgiebig Wert auf die mathematische Behandlung von Anwendungsproblemen gelegt. Schließlich muss der Ingenieur vor Ort rheologische Probleme nicht nur qualitativ beurteilen, sondern Apparate und Anlagen mit rheologisch komplexen Fluiden auslegen und optimieren können. Das Buch versucht die Kenntnisse hierzu zu vermitteln. Die Beispiele sind auf dem Niveau von Klausuraufgaben. Sie eignen sich darum auch zur Examensvorbereitung für Studierende an TechnischenUniversitäten und Fachhochschulen, insbesondere der Kunststoffverarbeitung, der Verfahrenstechnik und des Chemieingenieurwesens.
Aachen, 2013
R. Worthoff
| a | isotroper Druck (Pa) |
| a | 1. Rabinowitsch-Parameter (Pa) |
| c | 2. Rabinowitsch-Parameter (s–1) |
| cp,cv | spez. Wärmen (m2 s–3 K–1) |
| d | Durchmesser (m) |
|
Einheitsvektor |
| g | Erdbeschleunigung (m s–2) |
| h | Höhe (m) |
| ħ | plancksche Konstante (W s2) |
| k | Konsistenzfaktor (Pa sm) |
| k | boltzmannsche Konstante (W s K–1) |
| l | Länge (m) |
| m | Fließindex |
| n | Drehfrequenz (s–1) |
|
Normalenvektor |
| p | Druck (Pa) |
|
Volumenstrom pro Breiteneinheit (m2 s–1) |
| r | Radialkoordinate (m) |
| t | Zeitkoordinate (s) |
| v | Partikelgeschwindigkeit (m s–1) |
|
mittlere Geschwindigkeit (m s–1) |
| x,y,z | Koordinaten (m) |
| A | 1. Prandtl-Parameter (Pa) |
| B | Breite (m) |
| Bu | Buckingham-Kennzahl |
| C | 2. Prandtl-Parameter (s–1) |
| D | Durchmesser (m) |
|
Deformationsgeschwindigkeitstensor (s–1) |
| E | Elastizitätsmodul (Pa) |
| F | Kraft (N) |
| Fr | Froud-Kennzahl |
| H | Höhe (m) |
| I | Impuls (N s) |
| Ij | Tensor-Invarianten |
| L | Länge (m) |
| M | Drehmoment (N m) |
| R | fester Radius (m) |
| R | allgemeine Gaskonstante (J kg–1 K–1) |
| Re | Reynolds-Kennzahl |
| Sp | Spur eines Tensors |
| T | absolute Temperatur (K) |
|
Verzerrungstensor |
|
Volumenstrom (m3 s–1) |
|
Rotationstensor |
| α,β,φ | Winkel |
| γ | Scherwinkel |
|
Deformationgeschwindigkeit (s–1) |
| ε | Dehnung |
| η | dynamische Viskosiät (Pa s) |
| ηP | plastische Viskosität (Pa s) |
| ηS | scheinbare Viskosität (Pa s) |
| ηrep | repräsentative Viskosität (Pa s) |
| λ | Wärmeleitfähigkeit (W m–1 K–1) |
| ξ | Rohrreibungskennzahl |
| ρ | Stoffdichte (kg m–3) |
|
Spannungstensor (Pa) |
| τ | Schubspannung (Pa) |
| τR | Wandschubspannung (Pa) |
| τ0 | Grenzschubspannung (Pa) |
|
zylindrische Koordinaten |
| ω | Winkelgeschwindigkeit (s–1) |
| ∇ | Nabla-Operator |
| Δ | Differenz |
|
totale zeitliche Ableitung (s–1) |
|
partielle zeitliche Ableitung (s–1) |
|
substanzielle zeitliche Ableitung (s–1) |
|
materielle zeitliche Ableitung (s–1) |
Die Eigenschaften mechanischer Kontinua werden klassisch für Festkörper durch die hookesche Festigkeitshypothese τ = Eε oder für die Fluidreibung durch den newtonschen Ansatz 
beschrieben. Hierin ist τ die Schubspannung, die durch eine äußere Kraft 
auf eine belastete Fläche 
des Kontinuums entsteht, E das Elastizitätsmodul und η die dynamische Viskosität. ε ist die Dehnung und 
der Schergradient; mit ε = Δl/l (wobei Δl die Längenänderung auf Grund der Belastung und l die unbelastete Ursprungslänge ist) und 
(wobei 
die Geschwindigkeitsänderung entlang der zu 
senkrechten Koordinatenrichtung 
ist). Das Versagen dieser Gesetze gegenüber den komplexen Medien der modernen Stoffchemie ergab den Anstoß der Entwicklung der Physik der nichthookeschen Körper bzw. der nichtnewtonschen Fluide. Das letztere Wissensgebiet wird heute allgemein mit Rheologie (Fließkunde) bezeichnet. Im Folgenden soll die Rheologie auf stofflich homogene unpolare Kontinua beschränkt bleiben, bei denen keine physikalische Änderung oder chemische Umsetzung erfolgt. Homogene Kontinua sind solche, die mathematisch durch stetig differenzierbare Funktionen beschrieben werden können. Für ein fluides Kontiuum kann mit 
ein zeitabhängiges Geschwindigkeitsfeld definiert werden [1]. Als Lösung der Differenzialgleichung
(1.1) 
mit der Anfangsbedingung 
ergeben sich die Bahnkurven (Teilchenbahnen) 
der materiellen Punkte 
, die durch ihre Koordinaten zur Zeit t = t0 gekennzeichnet sind. Die materielle Geschwindigkeit (Teilchengeschwindigkeit) ist durch
(1.2) 
und die materielle Beschleunigung (Teilchenbeschleunigung) durch
(1.3) 
gegeben. 
ist die substanzielle Zeitableitung. Sie ist für eine Funktion f in einem Geschwindigkeitsfeld 
mit den Vektorkomponenten vi definiert zu
(1.4) 
mit dem Operator 
sind Einheitsvektoren. Außerdem soll hier und im Folgenden die einsteinsche Summenkonvention gelten. Das heißt, tritt in einem Produkt ein und derselbe Index zweimal auf, so ist über diesen von 1 bis n zu summieren (im Weiteren ist n immer n = 3). Hochgestellte Indizes bei 
sind keine Exponenten, sondern sollen zeigen, dass die Darstellung auch für allgemeine Koordinaten, z. B. hyperbolische, gilt. Betrachtet man nun die Relativbewegung zweier benachbarter Punkte mit dem Abstand 
, dann ist als Maß für die Deformationsgeschwindigkeit die materielle Zeitableitung 
anzusehen. Sie ergibt sich in Komponentenschreibweise zu
(1.5) 
Es gilt
(1.6) 
ist der zu 
transponierte Tensor. und sind über die Beziehung
miteinander verknüpft mit 
als Einheitstensor. Für eine Deformation eines Fluids kann die Vektorrichtung von 
nicht relevant sein, so dass es sinnvoll ist den Betrag von oder gleichwertig das Quadrat 
zu betrachten. Dann gilt
(1.7) 
ist also ein Tensormaß für die Geschwindigkeit, mit der das Abstandsquadrat 
deformiert wird. Man nennt darum Deformationsgeschwindigkeitstensor. Unter Beachtung von Gln. (1.6) und (1.7) gilt für dann
(1.8) 
Die Bedeutung von wird auch verständlich, wenn man für die Aussage = 0 das Gleichungssystem
(1.9) 
betrachtet. Als eindeutige Lösung findet man
mit 
als Rotationsgeschwindigkeitsvektor. Der erste Term beschreibt eine starre Drehung, der zweite eine reine Translation. Für diesen Fall ist das Medium rheologisch also nicht belastet. Insofern ist die Aussage, dass hier der Deformationsgeschwindigkeitstensor identisch gleich null ist, obwohl das Medium in Bewegung ist, plausibel [6].
Es ist eine Besonderheit komplexer Fluide, dass der momentane Spannungszustand im Medium nicht nur von der augenblicklichen Bewegung abhängt, sondern auch von seiner Bewegungsgeschichte 
. Diese Funktion beschreibt für ein Teilchen 
den kinematischen Ablauf in der Vergangenheit mit der Randbedingung 
für t = τ. In der einschlägigen Literatur sind noch folgende Deformationsmaße üblich
.Die Aufteilung von 
nach Cauchy entsprechend
definiert aus den rechten und linken Strecktensor 
und 
, wobei 
ein orthogonaler Tensor mit den Eigenschaften
ist. bzw. sind die rheologisch relevanten Deformationsmaße.1) Weiterhin ist schließlich noch die Deformationsgeschichte 
(τ) von Bedeutung
(1.10) 
Anstatt der zitierten Deformationsmaße sind gleichwertig auch abgewandelte Maße zu verwenden. Bei hieraus abgeleiteten Approximationsbeziehungen können allerdings unterschiedliche rheologische Eigenschaften erhalten werden. Die Einschränkung einer allgemeinen rheologischen Zustandsgleichung auf Materialien, die der Isomorphie, Isothermie und Beanspruchungsfestigkeit genügen, führt auf die Form [1]
(1.11) 
die für inkompressible Fluide noch zu
(1.12) 
konkretisiert werden kann mit a als rheologisch unbestimmten isotropen Anteil des Spannungstensors 
. Das Funktional 
muss die Forderung nach materieller Objetivität erfüllen. Entwickelt man (τ) in eine Taylorreihe, ergibt sich
(1.13) 
Die Ableitungen 
lassen sich durch die korotationale zeitliche Ableitungen des Deformationsgeschwindigkeitstensors 
ausdrücken [6] mit
(1.14) 
wobei 
ist. Konvergiert die Reihe, so gilt die Approximation
(1.15) 
bzw. in Entwicklungsschreibweise
(1.16) 
Die αi-Größen stellen rein rheologische Materialparameter dar. Gleichung (1.16) eignet sich besonders zur Beschreibung stationärer Prozesse. Zur Interpretation von Relaxationserscheinungen empfiehlt sich dagegen eine Integralentwicklung der Glation. (1.17), die über skalare Relaxationsfunktionen ki den Spannungstensor auf die Deformationsgeschichte zurückführt [12]
(1.17) 
Während die Ordnung der Entwicklung von Glation. (1.16) am Betrag der kinematischen Beanspruchung des Mediums gemessen wird, wird die Ordnung der Entwicklung von Gl. (1.17) durch die Norm der Deformationsgeschichte bestimmt. Die Norm entscheidet darüber, welcher Abschnitt dτi in der Vergangenheit für den aktuellen Spannungszustand des Mediums am prägnantesten war. Solange sich ein materielles Teilchen nur translatorisch und rotatorisch mit seiner Umgebung mitbewegt, ist es – wie erwähnt – rheologisch nicht beansprucht. Darum ist hier die korotationale Zeitableitung 
, die als natürliches Bezugssystem den mit einem Teilchen mitbewegten Rahmen verwendet, relevant.
Bei den Gleichungen (1.16) und (1.17) handelt es sich um sogenannte Zustands-funktionen. Sie spiegeln die Materialeigenschaften der Fluide wider. Zur Schließung der Bestimmungsgleichungen (Massen-, Impuls- und Energiebilanzen) sind sie neben den Randbedingungen zwingend erforderlich. Sie verknüpfen nicht nur den momentanen Deformationszustand mit dem Spannungszustand, sondern stellen zusätzlich auch dessen Abhängigkeit von den Änderungsgeschwindigkeiten des Deformationszustandes her. Dies soll insbesondere der Tatsache Rechnung tragen, dass rheologische Substanzen in mehr oder weniger hohem Maße elastische Eigenschaften besitzen. Die Form der allgemeinen Zustandsfunktionen lassen sich je nach Materialeigenschaft konkretisieren. Genügt zur Beschreibung der rheologischen Eigenschaften eines Mediums z. B. bei Gl. (1.16) die Entwicklung bis zum α3-Term, so spricht man hier von einem „Second-Order-Fluid“ (SOF) [33]. Seine Zustandsfunktion lautet somit
(1.18) 
Während das Reibungsverhalten in α1-Wert gemessen wird (α1 kann mit 2η gleichgesetzt werden), kommen in den Parametern α2 und α3 auch elastische Eigenschaften zum Tragen (α2 kann durch 4ηλ1 und α3 durch 2ηλ2 ausgedrückt werden, mit den Relaxationszeiten λ1 und λ2)
(1.19) 
Auch ein rein newtonsches Fluid wird durch Gl. (1.16) beschrieben. Dann endet die Entwicklung nach dem α1-Term
(1.20) 
Bricht man die Reihe der Gl. (1.16) schon nach dem 1. Glied ab, beschreibt sie ein reibungsfreies Fluid.
In der Literatur wird Gl. (1.16) durch Hinzufügen geeigneter Summanden noch beliebig verallgemeinert. So wird z. B. vorgeschlagen, neben den zeitlichen korotationalen Zeitableitungen des Deformationsgeschwindigkeitstensors auch entsprechende Ableitungen des Spannungstensors hinzuzufügen.
Stellvertretend für alle anderen, soll hier eine nach Rivlin [33] entwickelte Zu-standsgleichung erwähnt werden
(1.21) 
Sp heißt die Spur des Spannungstensors und ist definiert zu Sp = σ11 + σ22 + σ33. Selbstverständlich bleiben alle Zustandsgleichungen, seien es die nach endlichen Gliedern abgebrochenen Gln. (1.16) und (1.17) oder die modifizierte Gl. (1.19), Modellbeziehungen, die lediglich wenige rheologische Phänomene beschreiben können. Trotzdem eignen sich diese Modelle oft über ein rein qualitatives Studium rheologischer Problemstellungen hinaus und ermöglichen so die Optimierung strömungstechnischer Einrichtungen und Anlagen. In vielen dieser Anlagen – vor allem in verfahrenstechnischen Apparaten – findet die Rheologie interessante Anwendungen. So z. B. in Produktionsanlagen, in denen höherviskosen Flüssigkeiten verarbeitet werden. Aus den Zustandsgleichungen (1.16), (1.17) oder (1.21) kann konkret nur dann ein Nutzen gezogen werden, wenn für das jeweilige Fluid die Modellparameter der Zustandsgleichungen numerisch bekannt sind. Die numerische Bestimmung erfolgt im Rahmen rheometrischer Untersuchungen, der Rheometrie [2]. Hier kommen Geräte – sogenannte Rheometer bzw.
Viskosimeter – zum Einsatz, in denen eine definierte Strömung, in der Regel eine stationäre Schichtenströmung, realisiert wird.2) Aus diesem Grunde und weil diese Strömungsform in zahlreichen technischen Apparaten anzutreffen ist, soll darum im Weiteren die Schichtenströmung näher betrachtet werden.
Bei einer Schichtenströmung unterscheidet man die Fließrichtung (1), die Scherrichtung (2) und die indifferente Richtung (3). Die Komponenten v2 und v3 eines derartigen Geschwindigkeitsfeldes (v1, v2, v3) sind jetzt identisch gleich null. Nur v1rφzzrφ