5. Auflage
Rainer Ansorge
Universität Hamburg
Fachbereich Mathematik
Bundesstraße 55
20146 Hamburg
Hans J. Oberle
Universität Hamburg
Fachbereich Mathematik
Bundesstraße 55
20146 Hamburg
Kai Rothe
Universität Hamburg
Fachbereich Mathematik
Bundesstraße 55
20146 Hamburg
Thomas Sonar
Technische Universität Braunschweig
Institut für Partielle Differentialgleichungen
Universitätsplatz 2
38106 Braunschweig
5. Auflage 2020
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Print ISBN 978-3-527-41374-4
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Der Text wurde für die Neuauflage vorsichtig überarbeitet und bekannt gewordene Fehler wurden korrigiert. Im Abschnitt zur Logik wurde ein wichtiger Fall aufgenommen, der bisher fehlte, aber dennoch verwendet wurde. Im Fall der Stetigkeit sind wir dem Wunsch nachgekommen, das ε-δ-Kriterium nicht nur abstrakt für metrische Räume zu formulieren, sondern direkt für den Fall von Funktionen f : [a, b] → ℝ. Wir hoffen, damit die Verständlichkeit des Textes noch einmal verbessert zu haben.
Wir danken dem Verlag für die Möglichkeit, dieses erfolgreiche Lehrbuch, das nun seit 26 Jahren auf dem Markt ist, in einer neuen Auflage präsentieren zu können.
Hamburg und Braunschweig, im November 2019
Die Verfasser
Nach über zehn Jahren fortdauerndem Interesse durch die geneigte Leserschaft hat uns der Verlag Wiley-VCH dazu ermutigt, eine weitere Neuauflage unserer Mathematik für Ingenieure in Angriff zu nehmen. Hiermit legen wir nun zunächst die Bände eins (Lehrbuch) und drei (Aufgabenband) zur Linearen Algebra und zur Analysis einer Variablen in nunmehr gemeinsamer Autorenschaft vor.
Die Bücher wurden grundlegend überarbeitet, die erläuternden Texte wurden erweitert und verbessert, viele alte und neue Abbildungen wurden verbessert bzw. neu erstellt. Der Aufgabenband wurde durch eine Vielzahl neuer Aufgaben einschließlich zugehöriger Lösungshinweise verstärkt, und auch inhaltlich wurde das Lehrbuch durch das Einfügen der im Bereich der Ingenieurwissenschaften zunehmend wichtigen linearen Optimierung erweitert. Die Beschreibung der numerischen Verfahren schließlich wurde ergänzt durch Hinweise auf Software in der MATLAB Rechenumgebung.
MATLAB dient inzwischen weitgehend als Standardwerkzeug im naturwissenschaftlich-technischen Bereich und steht den Studierenden der Technischen Universitäten in der Regel zur Verfügung.
Bedanken möchten wir uns bei vielen Studentinnen und Studenten, die uns zu unserer Ingenieur-Mathematik viel Lob, aber auch viele Verbesserungvorschlge haben zukommen lassen. Dankbar sind wir auch dem Verlag, in persona Frau Palmer und Frau Werner, für tatkräftige Ermutigung und Unterstützung. Natürlich wünschen wir, dass unser Werk auch weiterhin den Studierenden wie auch den in der Praxis tätigen Ingenieuren von Nutzen sein möge.
Hamburg und Braunschweig, im April 2010
Die Verfasser
Erneut erfordert die interessierte Nachfrage nach unserem Lehrbuch eine Neuauflage, zunächst des ersten Bandes, und diesmal unter der Schirmherrschaft des Verlages Wiley-VCH, der dankenswerterweise nach Übernahme des früheren Akademie Verlages bereit war, sich auch seinerseits für eine dritte Auflage zu engagieren.
Das Buch wurde vollständig neu durchgesehen, Abbildungen verbessert, noch vorhandene Druckfehler – soweit bekannt geworden – beseitigt, Rechenprogramme aus dem Buch mit entsprechendem Verweis ins Internet übernommen, weitere Übungsaufgaben zusätzlich integriert, das Lehrbuchverzeichnis aktualisiert, missverständliche Textstellen präzisiert. Darüber hinaus wird in einem dritten Ergänzungsband zur Mathematik für Ingenieure eine Fülle weiterer Übungs- und Klausuraufgaben einschließlich Lösungsvorschlägen bereitgestellt. Wir haben deshalb die Hoffnung, dass diese Neuauflage auch künftig den Studierenden wie dem Praktiker bei der Bewältigung anstehender Aufgaben hilfreich zur Seite stehen kann.
Hamburg, im Januar 2000
Die Verfasser
Die freundliche Aufnahme, die unser Lehrbuch sowohl bei den Lesern wie bei der Kritik gefunden hat, veranlasst uns, diese rasch notwendig gewordene Neuauflage im Wesentlichen als Nachdruck der ersten Auflage vorzulegen.
Dennoch haben wir für mancherlei Verbesserungsvorschläge sowohl von den Studierenden wie aus dem Kollegenkreise Dank zu sagen. Wir sind diesen Vorschlägen weitestgehend gefolgt, und natürlich wurden alle uns bekannt gewordenen Druckfehler korrigiert.
Dank sagen wir auch dem Verlag für die uns zuteil gewordene Unterstützung. So hoffen wir, dass auch diese zweite Auflage den Studierenden wie den in der Praxis tätigen Ingenieuren eine seriöse Hilfe beim Erlernen oder Nachschlagen grundlegender mathematischer Sachverhalte und deren Nutzung in mathematischen Modellen natur- oder ingenieurwissenschaftlicher Zusammenhänge sein wird.
Hamburg, im April 1997
Die Verfasser
Diese zweibändige Ausgabe Mathematik für Ingenieure ist aus Lehrveranstaltungen hervorgegangen, die wir an den Technischen Universitäten Clausthal, München und Hamburg-Harburg über viele Jahre abgehalten haben. Der Gesamtumfang entspricht dem Stoff eines viersemestrigen Kurses von jeweils vier Semesterwochenstunden.
Da den Anfängern im ersten Semester vom Schulunterricht her zumeist eher Grundkenntnisse aus der Analysis als aus der Linearen Algebra zur Verfügung stehen, jedoch von Anbeginn in den technisch-naturwissenschaftlichen Grundvorlesungen – etwa in der Technischen Mechanik oder den Grundlagen der Elektrotechnik – alsbald auch Hilfsmittel aus der Linearen Algebra eingesetzt werden, beginnt der erste Band nach einführenden Abschnitten mit der Vektorrechnung und Analytischen Geometrie, gefolgt von Abschnitten über lineare Gleichungssysteme, lineare Abbildungen sowie lineare Ausgleichs- und Eigenwertprobleme. Erst dann wird zur Analysis der Funktionen einer reellen Veränderlichen übergegangen, wobei überall dort, wo dies ohne Mehraufwand möglich ist, auch sogleich komplexe Variable einbezogen werden. Der zweite Band umfasst die Analysis bei mehreren reellen Veränderlichen, Integralsätze, gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen, Optimierung, Spezielle Funktionen, Integraltransformationen und Funktionentheorie einer komplexen Variablen. Großen Wert haben wir auf motivierende Modellbildungen aus ingenieurwissenschaftlichen Bereichen gelegt, wobei allerdings zu Anfang angesichts des Umstandes, dass die Kenntnisse der Studierenden zu diesem Zeitpunkt auch in ihrem jeweiligen technischen Hauptfach noch eher rar sind, keine großen Ansprüche gestellt werden können. Nahezu alle angesprochenen mathematischen Teilgebiete werden durch Einführung in zugehörige numerische Methoden sowie durch Übungsaufgaben ergänzt.
Wir verzichten nicht auf mathematische Strenge und nur selten auf Beweise mathematischer Aussagen, denn erst das Begreifen eines Zusammenhangs – was nicht als jederzeitige auswendige Reproduzierbarkeit eines Beweises durch die Studierenden misszuverstehen ist – kann zum Verständnis der Voraussetzungen einer Aussage und damit zur kritischen Einschätzung der großen Möglichkeiten, aber auch der Grenzen eines mathematischen Werkzeugs führen. Andererseits haben wir uns jedoch einer Sprache zu befleißigen versucht, die auf zu starren Formalismus verzichtet, statt dessen vielfach lieber klare verbale Formulierungen bevorzugt, nichtsdestoweniger aber auch formale Ausdrucksweisen benutzt, wo verbale Sprache auch bei Ingenieur-Anwendern eher erschwerend wirken würde.
Wir glauben, dass das Werk auch für Naturwissenschaftler und hinsichtlich der Modelle aus mancherlei technisch-naturwissenschaftlichen Anwendungen sogar für Studierende der Mathematik hilfreich sein kann, doch ist es für Ingenieure konzipiert.
Herzlichen Dank möchten wir den Sekretärinnen unseres Instituts, insbesondere Frau Monika Jampert, sagen, die bei der Erstellung der Druckvorlagen unschätzbare Dienste geleistet haben, und Herrn Uwe Grothkopf, der uns bei vielen Fragen im Zusammenhang mit der Benutzung des Textverarbeitungssystems LATEX unterstützte. Unser Dank gilt auch vielen Kollegen und Mitarbeitern, die bei der kritischen Verwendung der als Vorläufer dieser Bände erstellten Vorlesungsskripten Ungereimtheiten aufgedeckt und so zur Gestaltung der nun vorliegenden Fassung beigetragen haben.
Nicht zuletzt sind wir dem Verlag, insbesondere Frau Gesine Reiher, für geduldiges Eingehen auf unsere Wünsche und für mancherlei Ratschläge zu Dank verpflichtet.
Hamburg, im Oktober 1993
Die Verfasser
In diesem und dem folgenden einführenden Abschnitt sollen einige Grundregeln der mathematischen Sprech- und Ausdrucksweise vereinbart werden. Hierzu werden die wichtigsten Begriffe über Aussagen, Mengen und Funktionen sowie später über die Zahlenbereiche zusammengestellt. Den Studierenden sollte der Stoff dieser Abschnitte im Wesentlichen von der Schule bekannt sein (mit Ausnahme vielleicht der komplexen Zahlen). Das Augenmerk sollte also hierbei eher auf dem Einüben der Notation liegen.
Aussagen sind Sätze, die wahr oder falsch sind. Vom Standpunkt der Aussagenlogik, aber auch für das formale Umformen von Aussagen ist nicht der Inhalt einer Aussage von Interesse, sondern ihr Wahrheitswert. Ist A eine Aussage, so legen wir fest:
w(A) bezeichnet dabei den Wahrheitswert der Aussage A; das Symbol :⇔ bezeichnet die definierende Äquivalenz, sprachlich: „… wird definiert durch …“. Wir gehen davon aus, dass es nur zwei Wahrheitswerte gibt (Satz vom ausgeschlossenen Dritten, lat. „tertium non datur“) und dass jede (sinnvolle) Aussage entweder wahr oder falsch ist.
Sind A und B Aussagen, so werden die folgenden Verknüpfungen dieser Aussagen betrachtet:
Definiert werden diese „neuen“ Aussagen durch Festlegung ihrer Wahrheitswerte (in Abhängigkeit von den Wahrheitswerten der Aussagen A und B):
Tafel (1.1): Wahrheitswertetafel.
| w(A) | w(B) | w(¬A) | w(A ∧ B) | w(A ∨ B) | w(A ⇒ B) | w(A ⇔ B) |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
Man beachte:
Mit Hilfe dieser Verknüpfungen lassen sich nun formal weitere Aussagen bilden, wie etwa:
Nun gilt: Die Aussage (1.2) ist immer, d. h. unabhängig von den Aussagen A und B, wahr. Solche Aussagen heißen Tautologien. Wir überprüfen diese Eigenschaft anhand der zugehörigen Wahrheitswertetafel:
Tafel (1.2): Wahrheitswertetafel zu (1.2).
| A | B | A ⇒ B | ¬A | ¬B | (¬B) ⇒ (¬A) | (1.2) |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Tautologien lassen sich dazu benutzen, mathematische Aussagen in andere, äquivalente Aussagen umzuwandeln.
Liste häufig verwendeter Tautologien (1.3)
| (1) | A ∨ ¬A | Satz vom ausgeschlossenen Dritten |
| (2) | ¬(A ∧ ¬A) | Satz vom Widerspruch |
| (3) | ¬¬A ⇔ A | doppelte Verneinung |
| (4) | ¬(A ∧ B) ⇔ (¬A)∨(¬B) | Regel von de Morgan1) |
| (5) | ¬(A ∨ B) ⇔ (¬A)∧(¬B) | Regel von de Morgan |
| (6) | (A ⇒ B) ⇔ (¬B ⇒ ¬A) | Kontraposition |
| (7) | (A ⇒ B)∧ A ⇒ B | modus ponens |
| (8) | (A ⇒ B)∧ ¬B ⇒ ¬A | modus tollens |
| (9) | (A ⇒ B)∧(B ⇒ C) ⇒ (A ⇒ C) | modus barbara |
| (10) | A ∧(B ∨ C) ⇔ (A ∧ B)∨(A ∧ C) | Distributivgesetz |
| (11) | A ∨(B ∧ C) ⇔ (A ∨ B)∧(A ∨ C) | Distributivgesetz |
Beispiel (1.4)
Zum Nachweis, dass die beiden Regeln von de Morgan (4) und (5) Tautologien sind, stellen wir die zugehörige Wahrheitswertetafel auf.
| A | B | ¬A | ¬B | (¬A)∧(¬B) | A ∨ B | ¬(A ∨ B) | A ∧ B | ¬(A ∧ B) | (¬A)∨(¬B) |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
Aussageformen sind Aussagen, die von Variablen abhängen. So ist z. B.
eine (zweistellige) Aussageform in den Variablen x, y. Eine Aussageform selbst hat keinen Wahrheitswert. Erst wenn man für die Variablen konkrete Objekte (hier etwa reelle Zahlen) einsetzt, erhält man eine Aussage, die dann wahr oder falsch ist. Für obiges Beispiel ist etwa 
eine wahre und A(−3, 2) eine falsche Aussage.
Für eine einstellige Aussageform A(x) werden die folgenden Aussagen definiert:
Die Symbole ∀, ∃ und ∃1 heißen Quantoren. Wichtig sind auch die Verneinungen der Quantoren:
Die allgemeine Form eines mathematischen Satzes ist die Implikation A ⇒ B.
Dabei heißt A die Voraussetzung (Prämisse), B die Behauptung (Konklusion). Man sagt dann auch: B ist eine notwendige Bedingung für A und A ist eine hinreichende Bedingung für B.
Für den Beweis eines mathematischen Satzes A ⇒ B wird in der Regel ein sogenannter Kettenschluss durchgeführt:
Eine Begründung hierzu liefert die Tautologie (9) in Liste 1.3. Die einzelnen Schlüsse sind dabei einsichtig, sie sind z. B. bereits früher bewiesen worden oder sie folgen unmittelbar aus Axiomen. Diese Form des Beweises heißt direkter Beweis.
Beim sogenannten indirekten Beweis benutzt man die Kontraposition bzw. den modus tollens. Anstelle von A ⇒ B beweist man ¬B ⇒ ¬A oder: wenn die Behauptung B nicht gilt, so ergibt sich ein Widerspruch zur Voraussetzung A.
Wir betrachten zwei einfache Beispiele für diese Beweisformen:
Beweis.
Wir beweisen die Äquivalenz, indem wir die beiden Implikationen
einzeln nachweisen.
⇒: (direkter Beweis)
⇐: (indirekter Beweis)
■
Wir betrachten ein zweites Beispiel für einen indirekten Beweis. Die äußere Form des Satzes ist dabei etwas anders, da keine Voraussetzung explizit genannt wird. Tatsächlich bilden jedoch die (üblichen) Rechenregeln für natürliche bzw. rationale Zahlen hier die Voraussetzungen.
Wir schließen aus
die Regel
Nach der Regel von de Morgan (siehe Liste 1.3 (5)) ist die rechte Seite äquivalent zu
womit wir
gezeigt haben. Damit können wir nun den folgenden Satz beweisen, wobei wir wie folgt vorgehen werden. Wir wollen zeigen: 
ist keine rationale Zahl (A ⇒ B), zeigen dazu aber, dass A ∧ ¬B nicht gilt, also muss A ⇒ B richtig sein.
Anmerkung
Die klassische geometrische Fragestellung lautet: Sind die „Strecken“ 1 und 
kommensurabel (lat.: mit gleichem Maß messbar)?
Oder anders gesagt: Gibt es eine „kleine“ Strecke Δ mit
(m, n natürliche Zahlen)?
Wenn es ein solches Δ gibt, so ist 
und damit 
eine rationale Zahl.
Abb. 1.1 Konstruktion von .
Beweis zu Satz1.6 (indirekt mit (1.3)).
Annahme: 
natürliche Zahlen. Weiter können wir annehmen, dass der Bruch 
gekürzt ist, d. h., n und m teilerfremd sind. (Damit haben wir ¬B angenommen.)
Es folgt:
Dies in obige Gleichung eingesetzt liefert:
Damit haben wird einen Widerspruch konstruiert zu unserer Voraussetzung, dass n und m teilerfremd sind. (A ∧ ¬B) gilt nicht, also folgt mit (1.3): A ⇒ B.
Die Annahme 
ist also falsch! ■
Wir verwenden den „naiven“ Mengenbegriff nach Georg Cantor2). Hiernach ist eine Menge eine „Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte zu einem Ganzen“. Es soll jedoch kritisch angemerkt werden, dass sich hierdurch der Begriff „Menge“ nicht streng definieren lässt; er ist ein Grundbegriff. Der korrekte Weg wäre es, Regeln festzulegen, wie man mit Mengen umzugehen hat. Dies führt auf die axiomatische Mengenlehre nach Ernst Zemelo und David Hilbert3).
Bezeichnungen
Mengen lassen sich definieren durch:
Hierbei bezeichnet := die definierende Gleichheit („… wird definiert durch …“) und A(x) ist eine Aussageform, die für Objekte (Elemente) aus einem Grundbereich Ω erklärt ist.
Eine Menge, welche kein Element enthält, heißt leere Menge. Nach (1.4) existiert nur eine leere Menge, diese wird mit ∅ bezeichnet.
Abb. 1.2 Verknüpfungen von Mengen.
Ordnungseigenschaft (1.7)
Verknüpfungen von Mengen (1.8)
| M ∪ N | := | {x : x ∈ M ∨ x ∈ N} | (Vereinigung), |
| M ∩ N | := | {x : x ∈ M ∧ x ∈ N} | (Durchschnitt), |
| M \ N | := | {x : x ∈ M ∧ x ∉ N} | (Differenz), |
| M × N | := | {(a, b) : a ∈ M ∧ b ∈ N} | (Kartesisches4)Produkt), |
| Ƥ(M) | := | {X : X ⊂ M} | (Potenzmenge). |
Bemerkungen (1.9)
Abb. 1.3 Dieeuklidische Ebene.
Der dreidimensionale euklidische Raum
Abb. 1.4 Der dreidimensionale euklidische Raum.
Der n-dimensionale euklidische Raum
Beispiele (1.10)
Abb. 1.5 Kreisfläche.
Abb. 1.6 Streifen.
Abb. 1.7 Querschnitt eines T-Trägers.
Seien D und Z Mengen. Unter einer Funktion (Abbildung) von D nach Z verstehen wir eine Vorschrift, die jedem Element x ∈ D genau ein Element y ∈ Z zuordnet. Wir schreiben dann: f : D → Z und y = f (x) oder f : x ↦ y. Man hat also
D heißt Definitionsbereich, Z heißt Zielmenge oder Bildbereich von f. Die Menge
heißt der Graph der Funktion f.
Zu A ⊂ D heißt
das Bild von A unter der Funktion f. Zu B ⊂ Z heißt
das Urbild von B unter der Funktion f, vgl. Abb. 1.8.
Im Zusammenhang mit Funktionen tritt häufig das Problem der Lösung bzw. Lösbarkeit von Gleichungen auf, d. h., zu gegebenem y ∈ Z wird eine Lösung x ∈ D der Gleichung f (x) = y gesucht.
Wir sagen:
f : D → Z heißt surjektiv, falls die Gleichung f (x)= y für jedes y ∈ Z wenigstens eine Lösung x ∈ D besitzt, falls also gilt
f : D → Z heißt injektiv, falls die Gleichung f (x)= y für jedes y ∈ Z höchstens eine Lösung x ∈ D besitzt, also
Abb. 1.8 Bild und Urbild einer Funktion y = f(x).
Schließlich heißt eine Funktion f : D → Z bijektiv, falls sie injektiv und surjektiv ist. Die Gleichung f (x) = y besitzt dann also zu jedem y ∈ Z genau eine Lösung x ∈ D.
Injektive Funktionen f : D → Z lassen sich invertieren; zu jedem y ∈ f (D) existiert nämlich genau ein x ∈ D mit y = f (x).
Durch die Zuordnung y ↦ x wird die Umkehrfunktion f−1 : f (D) → D definiert. Ist f sogar bijektiv, so hat man also
Ist f eine reellwertige Funktion einer reellen Variablen, gilt also D, Z ⊂ ℝ, so erhält man den Graphen der Umkehrfunktion f −1 aus den Graphen von f durch Spiegelung an der Diagonalen y = x, wobei dann aber wieder x die unabhängige Variable bezeichnet, vgl. Abb. 1.9.
Abb. 1.9 Konstruktion derUmkehrfunktion.
Eine wichtige Verknüpfung von Funktionen ist die Hintereinanderausführung bzw. Komposition.
Dazu seien f : D → Z und g : Z → P Funktionen. Dann definiert man die Komposition g ◦ f (merke: erst f (x) berechnen, danach g( f (x))!!) durch
Bemerkung (1.11)
Die Komposition von Funktionen ist eine assoziative Operation, sie ist jedoch i. Allg. nicht kommutativ, d. h., es gilt:
denn: (h ◦ (g ◦ f)) (x) = h( g (f (x)) = ((h ◦ g) ◦ f) (x), jedoch gilt i. Allg.:
Die letzte Aussage lässt sich etwa durch das folgende Gegenbeispiel belegen
Es folgt
also ist f ◦ g ≠ g ◦ f.
Bemerkung (1.12)
Die Menge der bijektiven Funktionen einer Menge D auf sich
bildet bezüglich der Komposition von Funktionen eine Gruppe, die sogenannte symmetrische Gruppe von D, d. h., es gelten:
Dabei ist idD die Identität, idD(x) := x, und f −1 die zu f inverse Funktion.
Im Folgenden stellen wir einige Eigenschaften elementarer reeller Funktionen zusammen. Eine genauere Herleitung wird an späterer Stelle nachgeliefert. Man vergleiche hierzu den Abschn. 11.3.
Einige elementare Funktionen
a) Affin-lineare Funktion (Gerade)
Abb. 1.10 Gerade im ℝ2.
b) Polynome
Ist an ≠ 0, so heißt n der Grad des Polynoms.
c) Exponentialfunktion
Funktionalgleichung:
Es gibt genau eine Zahl e > 1, so dass für die Funktion f (x)= ex gilt: f ′(0)= 1. Diese Zahl e heißt die Eulersche Zahl6).
Es gilt (vgl. Abschn. 11.3):
d) Logarithmus
Die Logarithmus-Funktion
wird als Umkehrfunktion der (injektiven) Exponentialfunktion y = ax definiert. Insbesondere ist y = loga x daher nur für x > 0 erklärt, vgl. Abb. 1.12.
Funktionalgleichung:
Wählt man als Basis für den Logarithmus die Eulersche Zahl a = e, so erhält man den sogenannten natürlichen Logarithmus y = ln x. Es gilt somit:
Abb. 1.11 Allgemeine Exponentialfunktion (für a > 1)
Abb. 1.12 Allgemeiner Logarithmus (für a > 1).
e) Trigonometrische Funktionen
Die Koordinaten eines Punktes P =(xP, yP) auf dem Einheitskreis werden in Abhängigkeit vom Winkel x mit xP = cos x, yP = sin x bezeichnet, vgl. Abb. 1.13. Hierdurch sind die Funktionen cos x und sin x für x ∈ ℝ definiert, vgl. Abb. 1.14. Der Winkel x wird dabei im Bogenmaß gemessen (= Länge des Kreissegments von (1, 0) bis zum Punkt P), also:
Dabei bezeichnet π die Kreiszahl
Ferner bezeichnet 
das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete in einem rechtwinkligen Dreieck (Strahlensatz).
Abb. 1.13 Trigonometrische Funktionen am Einheitskreis.
Abb. 1.14 Trigonometrische Funktionen.
Es gelten:
Beweis zu (v) (elementargeometrisch).
Aus Abb. 1.15 liest man ab
Abb. 1.15 Zu den Additionstheoremen.