Details

Mathematik für Chemiker


Mathematik für Chemiker


7. Auflage

von: Ansgar Jüngel, Hans Gerhard Zachmann

52,99 €

Verlag: Wiley-VCH
Format: EPUB
Veröffentl.: 07.11.2014
ISBN/EAN: 9783527675524
Sprache: deutsch
Anzahl Seiten: 737

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Beschreibungen

Differentialgleichungen, Quantenmechanik, Wahrscheinlichkeitsrechnung - wie alle exakten Naturwissenschaften erfordert auch die Chemie mathematisches Handwerkszeug, um Prozesse und Phänomene zu untersuchen. Was angehende Chemiker von der Mathematik wissen müssen, bietet in bewährter Weise "Mathematik für Chemiker" in der siebten Auflage.<br> <br> Das notwendige mathematische Rüstzeug wird maßgeschneidert fürs Studium vermittelt, anschaulich in der Darstellung und ohne komplizierte Beweisketten. Zahlreiche praktische Beispiele aus der Chemie wecken das Interesse an der Mathematik und stellten den Bezug zur fachlichen Anwendung her. Die leicht verständliche Form garantiert den sicheren Einstieg, im Aufgabenteil mit Lösungen lässt sich das erworbene Wissen selbstständig überprüfen. Weiterführende Themen machen das Buch zum wertvollen Begleiter bis zum Examen.<br> <br> Durchgehend aktualisiert und um ein neues Kapitel zu numerischen Verfahren erweitert - für die Grundvorlesung Mathematik ebenso wie bei Fragen und Problemen im weiteren Studium unentbehrlich.
<p>Vorwort zur siebten Auflage xiii</p> <p>Vorwort zur sechsten Auflage xv</p> <p>Vorwort zur ersten Auflage xvii</p> <p><b>1 Mathematische Grundlagen </b><b>1</b></p> <p>1.1 Die Sprache der Mathematik 1</p> <p>1.2 Mengenlehre 3</p> <p>1.3 Zahlen 6</p> <p>1.4 Einige Rechenregeln 12</p> <p>1.5 Kombinatorik 15</p> <p><b>2 Lineare Algebra </b><b>23</b></p> <p>2.1 Matrizen 23</p> <p>2.2 Lineare Gleichungssysteme und Gaus-Algorithmus 31</p> <p>2.3 Determinanten 38</p> <p>2.3.1 Definition 38</p> <p>2.3.2 Rechenregeln 41</p> <p>2.3.3 Berechnung von Determinanten 44</p> <p>2.4 Lineare Unabhangigkeit und Rang einer Matrix 46</p> <p>2.4.1 Lineare Unabhangigkeit 46</p> <p>2.4.2 Rang einer Matrix 48</p> <p>2.5 Losungstheorie linearer Gleichungssysteme 50</p> <p>2.5.1 Losbarkeit linearer Gleichungssysteme 50</p> <p>2.5.2 Berechnung der Inversen einer Matrix 55</p> <p><b>3 Unendliche Zahlenfolgen und Reihen </b><b>59</b></p> <p>3.1 Unendliche Zahlenfolgen 59</p> <p>3.1.1 Definitionen und Beispiele 59</p> <p>3.1.2 Konvergenz einer Zahlenfolge 61</p> <p>3.1.3 Das Rechnen mit Grenzwerten 64</p> <p>3.2 Unendliche Reihen 68</p> <p>3.2.1 Definitionen und Beispiele 68</p> <p>3.2.2 Konvergenzkriterien 71</p> <p>3.2.3 Das Rechnen mit unendlichen Reihen 74</p> <p>3.2.4 Potenzreihen 76</p> <p><b>4 Funktionen </b><b>79</b></p> <p>4.1 Erläuterung des Funktionsbegriffes 79</p> <p>4.2 Funktionen einer Variablen 80</p> <p>4.2.1 Darstellung 80</p> <p>4.2.2 Umkehrung und implizite Darstellung einer Funktion 82</p> <p>4.2.3 Wichtige Begriffe zur Charakterisierung von Funktionen 84</p> <p>4.2.4 Einige spezielle Funktionen 85</p> <p>4.2.5 Stetigkeit 96</p> <p>4.2.6 Funktionenfolgen 99</p> <p>4.3 Funktionen mehrerer Variablen 102</p> <p>4.3.1 Darstellung 102</p> <p>4.3.2 Definitionsbereiche 107</p> <p>4.3.3 Stetigkeit 108</p> <p><b>5 Vektoralgebra </b><b>111</b></p> <p>5.1 Rechnen mit Vektoren 111</p> <p>5.1.1 Definition eines Vektors 111</p> <p>5.1.2 Rechenregeln für Vektoren 114</p> <p>5.1.3 Skalarprodukt 117</p> <p>5.1.4 Vektorprodukt 119</p> <p>5.1.5 Spatprodukt 122</p> <p>5.2 Darstellung von Vektoren in verschiedenen Basen 125</p> <p>5.2.1 Lineare Unabhangigkeit von Vektoren 125</p> <p>5.2.2 Basis im ℝ<sup>3</sup> und Basiswechsel 128</p> <p>5.2.3 Orthonormalbasis 132</p> <p><b>6 Analytische Geometrie </b><b>137</b></p> <p>6.1 Analytische Darstellung von Kurven und Flachen 137</p> <p>6.1.1 Darstellung durch Gleichungen in <i>x</i>, <i>y </i>und <i>z </i>137</p> <p>6.1.2 Parameterdarstellung 146</p> <p>6.2 Lineare Abbildungen 149</p> <p>6.2.1 Definitionen 149</p> <p>6.2.2 Eigenwerte und Eigenvektoren 151</p> <p>6.2.3 Drehungen und Spiegelungen 155</p> <p>6.3 Koordinatentransformationen 162</p> <p>6.3.1 Lineare Transformationen 162</p> <p>6.3.2 Transformation auf krummlinige Koordinaten 169</p> <p><b>7 Differenziation und Integration einer Funktion einer Variablen </b><b>175</b></p> <p>7.1 Differenziation 175</p> <p>7.1.1 Die erste Ableitung einer Funktion 175</p> <p>7.1.2 Rechenregeln für das Differenzieren 179</p> <p>7.1.3 Differenziation einiger Funktionen 183</p> <p>7.1.4 Differenziation komplexwertiger Funktionen 187</p> <p>7.1.5 Höhere Ableitungen 191</p> <p>7.1.6 Mittelwertsatz der Differenzialrechnung 192</p> <p>7.1.7 Anwendungen 193</p> <p>7.2 Integration von Funktionen 196</p> <p>7.2.1 Das bestimmte Integral 196</p> <p>7.2.2 Das unbestimmte Integral 203</p> <p>7.2.3 Integrationsmethoden 207</p> <p>7.2.4 Uneigentliche Integrale 216</p> <p>7.2.5 Anwendungen 220</p> <p>7.3 Differenziation und Integration von Funktionenfolgen 226</p> <p>7.4 Die Taylor-Formel 228</p> <p>7.5 Unbestimmte Ausdrucke: Regel von de l’Hospital 236</p> <p>7.6 Kurvendiskussion 242</p> <p>7.6.1 Definitionen 242</p> <p>7.6.2 Bestimmung von Nullstellen 244</p> <p>7.6.3 Bestimmung von Extrema 247</p> <p>7.6.4 Bestimmung von Wendepunkten und Sattelpunkten 249</p> <p><b>8 Differenziation und Integration von Funktionen mehrerer Variablen </b><b>251</b></p> <p>8.1 Differenziation 251</p> <p>8.1.1 Die partielle Ableitung 251</p> <p>8.1.2 Hohere Ableitungen und der Satz von Schwarz 255</p> <p>8.1.3 Existenz einer Tangentialebene 258</p> <p>8.1.4 Das totale Differenzial 259</p> <p>8.1.5 Die Kettenregel 262</p> <p>8.1.6 Differenziation impliziter Funktionen 265</p> <p>8.1.7 Partielle Ableitungen in derThermodynamik 268</p> <p>8.2 Einfache Integrale 271</p> <p>8.3 Bereichsintegrale 275</p> <p>8.3.1 Definition des zweidimensionalen Bereichsintegrals 275</p> <p>8.3.2 Berechnung des zweidimensionalen Bereichsintegrals 278</p> <p>8.3.3 Allgemeine Bereichsintegrale 282</p> <p>8.3.4 Transformationsformel 283</p> <p>8.3.5 Berechnung von Volumina und Oberflachen 290</p> <p>8.4 Kurvenintegrale 299</p> <p>8.4.1 Definition und Berechnung 299</p> <p>8.4.2 Wegunabhängigkeit des allgemeinen Kurvenintegrals 304</p> <p>8.4.3 Vollständiges und unvollständiges Differenzial 308</p> <p>8.4.4 Satz von Gauß im ℝ<sup>2</sup> 310</p> <p>8.5 Oberflächenintegrale 313</p> <p>8.6 Die Taylor-Formel 317</p> <p>8.7 Extremwerte 320</p> <p>8.7.1 Definitionen 320</p> <p>8.7.2 Bestimmung von Extremwerten und Sattelpunkten 322</p> <p>8.7.3 Bestimmung von Extremwerten unter Nebenbedingungen 325</p> <p><b>9 Vektoranalysis und Tensorrechnung </b><b>333</b></p> <p>9.1 Vektoranalysis 333</p> <p>9.1.1 Vektor- und Skalarfelder 333</p> <p>9.1.2 Der Gradient 335</p> <p>9.1.3 Konservative Vektorfelder 338</p> <p>9.1.4 Die Divergenz und der Satz von Gauß im ℝ<sup>3</sup> 340</p> <p>9.1.5 Die Rotation und der Satz von Stokes 344</p> <p>9.1.6 Rechenregeln 347</p> <p>9.1.7 Krummlinige Koordinaten 349</p> <p>9.2 Tensorrechnung 354</p> <p>9.2.1 Tensoren zweiter Stufe 354</p> <p>9.2.2 Tensoren hoherer Stufe 358</p> <p><b>10 Fourier-Reihen und Fourier-Transformation </b><b>361</b></p> <p>10.1 Fourier-Reihen 361</p> <p>10.1.1 Reelle Fourier-Reihen 361</p> <p>10.1.2 Komplexe Fourier-Reihen 368</p> <p>10.1.3 Fourier-Reihe einer Funktion in mehreren Variablen 370</p> <p>10.2 Fourier-Transformation 373</p> <p>10.2.1 Definitionen 373</p> <p>10.2.2 Beispiele 378</p> <p>10.2.3 Eigenschaften 382</p> <p>10.2.4 Anwendungen in der Chemie 392</p> <p>10.3 Orthonormalsysteme 399</p> <p><b>11 Gew</b><b>öhnliche Differenzialgleichungen </b><b>405</b></p> <p>11.1 Beispiele und Definitionen 405</p> <p>11.2 Differenzialgleichungen erster Ordnung 412</p> <p>11.2.1 Richtungsfeld, Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen 412</p> <p>11.2.2 Trennung der Variablen 415</p> <p>11.2.3 Lineare Differenzialgleichungen 417</p> <p>11.2.4 Systeme homogener linearer Differenzialgleichungen 421</p> <p>11.2.5 Systeme inhomogener linearer Differenzialgleichungen 431</p> <p>11.2.6 Exakte Differenzialgleichungen 433</p> <p>11.3 Lineare Differenzialgleichungen hoherer Ordnung 439</p> <p>11.3.1 Allgemeines uber die Existenz von Losungen 439</p> <p>11.3.2 Die ungedampfte freie Schwingung 443</p> <p>11.3.3 Die gedämpfte freie Schwingung 449</p> <p>11.3.4 Die erzwungene Schwingung 451</p> <p>11.3.5 Systeme von Differenzialgleichungen zweiter Ordnung 455</p> <p>11.4 Spezielle lineare Differenzialgleichungen zweiter Ordnung 461</p> <p>11.4.1 Potenzreihenansatz 461</p> <p>11.4.2 Die Legendre-Differenzialgleichung 464</p> <p>11.4.3 Die Laguerre-Differenzialgleichung 470</p> <p>11.4.4 Die Bessel-Differenzialgleichung 474</p> <p><b>12 Partielle Differenzialgleichungen </b><b>479</b></p> <p>12.1 Definition und Beispiele 479</p> <p>12.2 Die Potenzialgleichung 483</p> <p>12.2.1 Lösung durch Fourier-Transformation 483</p> <p>12.2.2 Lösung durch Fourier-Reihenansatz 484</p> <p>12.2.3 Lösung in Polarkoordinaten 487</p> <p>12.3 Die Warmeleitungsgleichung 489</p> <p>12.3.1 Lösung durch Fourier-Transformation 489</p> <p>12.3.2 Lösung durch Separationsansatz 491</p> <p>12.4 Die Wellengleichung 494</p> <p>12.4.1 Lösung durch Separationsansatz 494</p> <p>12.4.2 Allgemeine Lösungsformel 497</p> <p>12.4.3 Die schwingendeMembran 499</p> <p>12.5 Die Schrödinger-Gleichung 504</p> <p>12.5.1 Die stationäre Gleichung 504</p> <p>12.5.2 Der harmonische Oszillator 505</p> <p>12.5.3 DasWasserstoffatom 509</p> <p><b>13 Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik </b><b>519</b></p> <p>13.1 Einführung 519</p> <p>13.1.1 Quantenmechanische Begriffe 519</p> <p>13.1.2 Axiomatik der Quantenmechanik 523</p> <p>13.2 Hilbert-Räume 526</p> <p>13.2.1 Sobolev-Räume 526</p> <p>13.2.2 Vollständige Orthonormalsysteme 532</p> <p>13.2.3 Lineare Operatoren 536</p> <p>13.2.4 Dualräume und Dirac-Notation 537</p> <p>13.3 Beschränkte lineare Operatoren 541</p> <p>13.3.1 Definition und Beispiele 541</p> <p>13.3.2 Projektoren 545</p> <p>13.3.3 Symmetrische Operatoren 547</p> <p>13.4 Unbeschrankte lineare Operatoren 555</p> <p>13.4.1 Selbstadjungierte Operatoren 555</p> <p>13.4.2 Die Heisenberg’sche Unschärferelation 560</p> <p>13.4.3 Spektraldarstellung selbstadjungierter Operatoren 562</p> <p>13.5 Zeitentwicklung quantenmechanischer Systeme 571</p> <p><b>14 Wahrscheinlichkeitsrechnung </b><b>575</b></p> <p>14.1 Einleitung 575</p> <p>14.1.1 Aufgaben derWahrscheinlichkeitsrechnung 575</p> <p>14.1.2 Der Ereignisraum 577</p> <p>14.1.3 Zufallsgrösen 578</p> <p>14.2 Diskrete Zufallsgrösen 580</p> <p>14.2.1 Statistische Definition derWahrscheinlichkeit 580</p> <p>14.2.2 Summe von Ereignissen 582</p> <p>14.2.3 BedingteWahrscheinlichkeit 584</p> <p>14.2.4 Produkt von Ereignissen 587</p> <p>14.2.5 Totale Wahrscheinlichkeit 588</p> <p>14.3 Kontinuierliche Zufallsgrößen 590</p> <p>14.3.1 Wahrscheinlichkeitsdichte 590</p> <p>14.3.2 Verteilungsfunktion 593</p> <p>14.4 Kette von unabhängigen Versuchen 598</p> <p>14.4.1 Herleitung der exakten Gleichungen 598</p> <p>14.4.2 Diskussion der Funktion <i>P<sub>n</sub></i>(<i>m</i>) 601</p> <p>14.4.3 Näherungsgesetze für große <i>n </i>602</p> <p>14.4.4 Markow’sche Ketten 607</p> <p>14.5 Stochastische Prozesse 614</p> <p>14.5.1 Definitionen 614</p> <p>14.5.2 Der Poisson-Prozess 615</p> <p><b>15 Fehler- und Ausgleichsrechnung </b><b>619</b></p> <p>15.1 Zufallige und systematische Fehler 619</p> <p>15.2 Mittelwert und Fehler der Einzelmessungen 620</p> <p>15.2.1 Verteilung der Messwerte und Mittelwert 620</p> <p>15.2.2 Mittlerer Fehler der Einzelmessungen 622</p> <p>15.2.3 Wahrscheinlicher Fehler der Einzelmessung 623</p> <p>15.2.4 Praktische Durchführung der Rechnungen 624</p> <p>15.3 Fehlerfortpflanzung 626</p> <p>15.3.1 Maximaler Fehler 626</p> <p>15.3.2 Fortpflanzung des mittleren Fehlers 628</p> <p>15.3.3 Mittlerer Fehler desMittelwertes 631</p> <p><b>16 Numerische Methoden </b><b>633</b></p> <p>16.1 Lineare Gleichungssysteme 633</p> <p>16.1.1 Gauß-Algorithmus 633</p> <p>16.1.2 Thomas-Algorithmus 637</p> <p>16.1.3 Iterative Lösungsmethoden 639</p> <p>16.1.4 Ausgleichsrechnung 642</p> <p>16.2 Nichtlineare Gleichungen 646</p> <p>16.2.1 Newton-Verfahren im Eindimensionalen 646</p> <p>16.2.2 Newton-Verfahren im Mehrdimensionalen 647</p> <p>16.3 Eigenwertprobleme 650</p> <p>16.3.1 Potenzmethode 650</p> <p>16.3.2 QR-Verfahren 653</p> <p>16.4 Gewöhnliche Differenzialgleichungen 656</p> <p>16.4.1 Euler-Verfahren 656</p> <p>16.4.2 Runge-Kutta-Verfahren 659</p> <p>16.4.3 Steife Differenzialgleichungen 662</p> <p>16.5 Softwarepakete 665</p> <p>Antworten und Lösungen 667</p> <p>Literaturverzeichnis 701</p> <p>Weiterführende Literatur 703</p> <p>Stichwortverzeichnis 707</p>

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