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Lineare Algebra für Dummies

Für Dummies 2. Auflage

von: Ernst Georg Haffner
17,99 €
Verlag:	Wiley-VCH
Format:	EPUB
Veröffentl.:	13.12.2018
ISBN/EAN:	9783527819430
Sprache:	deutsch
Anzahl Seiten:	488

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Beschreibungen

Titelbeschreibung

Dieses Buch wird Sie sanft in eines der wichtigsten Teilgebiete der Mathematik begleiten. Folgerichtig beginnt es mit den Grundlagen - komplexe Zahlen, Körper, Vektorrechnung -, bevor es sich linearen Gleichungssystemen und Matrizen zuwendet. Auf den nächsten Teil dürfen Sie sich freuen: Schnitte von Ebenen und affine Abbildungen werden mit den Mitteln der linearen Algebra ganz leicht handhabbar. Und zuletzt bekommen Sie noch eine Einführung in die schwierigsten Themen der linearen Algebra: Morphismen, Determinanten, Basiswechsel, Eigenwerte und -vektoren und Diagonalisierung.

Inhaltsverzeichnis

Einführung 21 Zu diesem Buch 21 Konventionen in diesem Buch 21 Was Sie nicht lesenmüssen 22 Törichte Annahmen über den Leser 22 Wie dieses Buch aufgebaut ist 22 Symbole in diesem Buch 25 Wie es weitergeht 25 Teil I Grundlagen Der Linearen Algebra 27 Kapitel 1 Die bunte Welt der linearen Algebra 29 Dafür braucht man lineare Algebra 30 Systeme von Gleichungen lösen 31 Geometrische Rätsel knacken 32 Die Bausteine der linearen Algebra erkennen 34 Körper und Vektorräume 34 Sinnvolle Verknüpfungen von Vektoren 35 Die Werte in Reih’ und Glied bringen 36 Matrizen und ihre Verknüpfungen 38 Determinanten 40 Alles in einen linearen Zusammenhang bringen 41 Lineare Abbildungen 41 Affine Transformationen 44 Noch bunter geht es nicht 44 Eigenwerte und Eigenvektoren 45 Diagonalisieren und der Spektralsatz 47 Wie man den linearen Überblick behält 49 Kapitel 2 Zahlen gegen reelle Komplexe 53 Reelle Zahlen in der Realität 53 Grundidee der komplexen Zahlen 56 Crashkurs: Rechnenmit komplexen Zahlen 60 Addition und Subtraktion komplexer Zahlen 60 Multiplikation und Division komplexer Zahlen 63 Besonderheiten komplexer Zahlen 65 Beträge komplexer Zahlen 65 Konjugierte Komplexe 67 Kapitel 3 Körper und andere Welten 73 Verkündigung der Körpergesetze 73 Das Assoziativgesetz 75 Das Kommutativgesetz 78 Das neutrale Element 81 Inverse Elemente 82 Das Distributivgesetz 84 Die Algebraische Struktur der Körper 85 Endlich unendliche Körper 86 Der kleinste Körper 86 Die Klassischen Zahlkörper 89 Na so was: die Restklassenkörper 90 Kapitel 4 Wen Amors Vektor trifft 93 Woher die Vektoren kommen 93 Erweitern Sie Ihren Horizont – um n Dimensionen 94 Grundlegende Vektoroperationen 96 Addition und Subtraktion von Vektoren 97 Skalare Multiplikation von Vektoren 99 Das Skalarprodukt von Vektoren 100 Die Norm eines Vektors 102 Das Vektorprodukt 104 Der Winkel zwischen Vektoren 105 Diese Vektoren sind nicht normal 108 Jetzt wird es eng: der n-Raum 109 Der Euklidische n-Raum 110 Der komplexe n-Raum 111 Warum das alles kein Unsinn ist 112 Arbeit und Kraft 113 Das Drehmoment 114 Tricks mit Vektoren 116 Der Kosinussatz 116 Teil II Landschaftserkundung Zur Linearen Algebra 119 Kapitel 5 Vektorräume mit Aussicht 121 Räume voller Vektoren 121 Vektorraumoperationen 122 Addition von Vektoren 123 Skalare Multiplikation 124 Vektorraumeigenschaften 125 Massenhaft Beispiele für Vektorräume 126 Vektorräume aus n-Tupeln 126 Vektorräume aus Polynomen 127 Vektorräume aus Matrizen 129 Vektorräume von Folgen und Funktionen 130 Vektorräume aus linearen Abbildungen 132 Vektorräume aus Körpern 133 Unterräume – aber nicht im Kellergeschoss 133 Die formale Spezifikation der Unterräume 134 Eine Abkürzung zu den Unterräumen 135 Aufräumen in den Unterräumen 136 Summen von Unterräumen 140 Direkte Summen von Unterräumen 142 Kapitel 6 LGS – Auf lineare Steine können Sie bauen 145 Wie lineare Gleichungssysteme entstehen 145 Darstellungsmöglichkeiten linearer Gleichungssysteme 150 Die Quadratische Form 150 Die Stufenform 152 Die Idealform 153 Prinzipielle Lösungsmengen von LGSen 155 Eindeutige Lösung 155 Freie Parameter in der Lösung 156 Keine Lösungen 158 Das Gauß’sche Eliminationsverfahren zur Lösung von LGSen 158 Der Gauß-Jordan-Algorithmus 163 Lösung eines LGS über die erweiterte Koeffizientenmatrix 165 So geht es auch: LR-Zerlegung nach Gauß 167 Determinanten zur Bestimmung von Lösungen 169 Lösung à la Cramer & Cramer 170 Inverse Matrizen zur Lösung einer Matrizengleichung 172 Parametrisierte LGS 173 Kapitel 7 Die Matrix ist überall 181 Wie eine Matrix das Leben erleichtert 181 Lineare Gleichungssysteme als Matrizen darstellen 183 Grundlegende Matrixoperationen 184 Addition von Matrizen 184 Skalare Multiplikation von Matrizen 185 Matrix-Vektorprodukt 187 Matrizenmultiplikation 188 Transposition von Matrizen 191 Der Rang einer Matrix 193 Attribute von Matrizen 194 Quadratische Matrizen 194 Reguläre Matrizen 196 Idempotente Matrizen 197 Diagonalmatrizen 198 Adjungierte von Matrizen bestimmen 199 Komplementäre Matrizen erzeugen 200 Matrizen invertieren 202 Mittels Determinanten und Adjunkten 203 Mittels Gauß-Jordan-Algorithmus 203 Komplexe Matratzen, pardon, Matrizen 205 Unitäre Matrizen 205 Hermitesche Matrizen 207 Schiefhermitesche Matrizen 208 Ähnliche Matrizen 208 Der Matrix auf der Spur 210 Kapitel 8 Die lineare Unabhängigkeitserklärung 213 Wir kombinieren linear 213 Warum unabhängig besser ist als abhängig 215 Bestimmung der linearen Unabhängigkeit 216 Bei n-Tupel-Vektoren 217 Bei Polynomen 220 Bei Matrizen 222 Bei linearen Abbildungen 225 Im Allgemeinen 228 Fallstricke der linearen Unabhängigkeit 232 Lineare Unabhängigkeit mit der Lösung von Gleichungssystemen 233 Kapitel 9 Basen, keine lästige Verwandtschaft 235 Auf dieser Basis beruht unsere Arbeit 235 Erzeugende Systeme 241 Lineare Hüllen als Unterräume 242 Lineare Unabhängigkeit von Basisvektoren 243 Erzeugte Unterräume 244 Matrizen und Basen: So geht das! 248 Dimensionen und Basisvektoren 249 Der Dimensionssatz 250 Jetzt haben Sie endlich die Koordinaten 251 Basen für Orthonormal-Verbraucher 252 Teil III Analytische Geometrie Fürs Leben 257 Kapitel 10 Geometrische Grundelemente 259 Affinität zu geometrischen Räumen 259 Punkte im Euklidischen n-Raum 263 Darstellungsmöglichkeiten von Geraden 264 Parameterform 264 Gleichungsform 266 Darstellungsmöglichkeiten von Ebenen 266 Parameterform 266 Normalenvektor und Normalenform 267 Koordinatenform 268 Achsenabschnittsform 270 Aus der Form gesprungen oder wie Sie von einer Form in die andere gelangen 271 Festhalten, jetzt kommen höherdimensionale Objekte 272 Parameterformen 272 Koordinatenformen und Gleichungssysteme 273 Was sonst noch interessant ist 275 Dreiecke 275 Parallelogramme 276 Spate 277 Flächen zweiter Ordnung 279 Elliptisches Paraboloid 280 Hyperbolisches Paraboloid 281 Kapitel 11 Abstand halten und schneiden 283 Wir bestimmen den Abstand von… 283 Punkt zu Punkt 284 Punkt zu Gerade 286 Punkt zu Ebene 288 Wenn sich zwei Geraden treffen 290 Abstand paralleler Geraden 290 Abstand windschiefer Geraden 292 Schnittpunkt und -winkel zweier Geraden 295 Ebenen kommen ins Spiel 299 Abstand einer Geraden von einer parallelen Ebene 299 Durchstoßpunkt und -winkel von Gerade zu Ebene 300 Abstand zweier paralleler Ebenen 303 Schnittgerade und -winkel zwischen Ebenen 304 Überdimensionale Objekte 308 Abstandsbestimmung allgemein 308 Schnittobjekte und -winkel ermitteln 309 Kapitel 12 Geometrische Transformationen 311 Geometrie jenseits Lineal und Zirkel 311 Affine Abbildungen 312 Identität 317 Translation 317 Transvektion (Scherung) 318 Rotation 321 Spiegelung 328 Kontraktion 334 Die Hauptachsentransformation 336 Hauptachsentransformation – 3D 340 Teil IV Lineare Algebra For Runaway Dummies 347 Kapitel 13 Raubtierfütterung der Morphismen 349 Was Homomorphismen eigentlich sind 349 Beispiel 1: Quadratische Funktionen 350 Beispiel 2: Trigonometrische Funktionen 351 Beispiel 3: Exponential- oder Logarithmusfunktionen 352 Beispiel 4: Endlich linear 354 Wurfarten, die Sie sichmerken sollten 355 Kern einer linearen Abbildung 355 Bild einer linearen Abbildung 355 Surjektivität 356 Injektivität 357 Bijektivität 358 Operationen auf Homomorphismen 359 Morphismen, Aufzucht und Pflege 362 Homomorphismen 362 Epimorphismen 362 Monomorphismen 362 Isomorphismen 363 Endomorphismen 364 Automorphismen 365 Projektionen 366 Orthogonale Projektionen 369 Ansteckungsgefahr bei Morphismen, Diagnose: Singularität 371 Lineare Operatoren in der Technik 373 Kapitel 14 Ganz bestimmte Determinanten 377 Warum Determinanten wichtig sind 377 Was Permutationen mit Determinanten zu tun haben 379 Berechnung von Determinanten 381 Determinanten von 2x2-Matrizen 381 Determinanten mit der Regel von Sarrus berechnen 382 Berechnung von Determinanten im Allgemeinen 385 Rechenregeln für Determinanten 386 Wie sich die Transpositionen auf Determinanten auswirken 386 Diagonalmatrizen sind die besten Freunde von Determinanten 387 Die Determinate der Einheitsmatrix 387 Skalare Multiplikation und Determinanten 388 Determinanten und der Zeilentausch/Spaltentausch 388 Leibniz trifft auf Gauß 389 Determinantenberechnung für Dreiecksmatrizen 390 Zusammenhang zwischen Determinante und Invertierbarkeit einer Matrix 391 Unterdeterminanten 391 Der Entwicklungssatz 394 Determinanten von Homomorphismen 396 Determinanten und das Spatprodukt 397 Kapitel 15 Es reicht, wir wechseln die Basis 399 Ausgangssituation 399 Wo die neuen Basisvektoren herkommen 403 Die Übergangsmatrix bestimmen 404 Die Übergangsmatrix als linearer Operator 410 Basiswechsel bei allgemeinen Homomorphismen 413 Ein instruktives Beispiel zum Basiswechsel 416 Dem Ingeniör ist nichts zu schwör 416 Kapitel 16 Artige Eigenwerte 419 Eigenartige Werte 419 Eigenwerte von Endomorphismen 421 Von Eigenwerten über Eigenvektoren zu Eigenräumen 422 Eigenwerte der Matrixdarstellungen 423 Wie man aus Eigenwerten die zugehörigen Eigenvektoren presst 426 Eigenartige Eigenräume 427 Das Jacobi-Verfahren zur Bestimmung von Eigenwerten 429 Praxisbeispiele 434 Mechanische Schwingungen 434 Elektromagnetische Schwingkreise 435 Kapitel 17 Diagonalisieren statt um die Ecke denken 439 Was Matrizen und Homomorphismen gemeinsam haben 439 Was die Diagonalmatrix eines Homomorphismus bedeutet 442 Wann Sie überhaupt diagonalisieren können 444 Diagonalisieren ohne Verrenkungen 447 Eine Null als Eigenwert 449 Eigene Werte ohne Potenz 451 Was man Schlaues mit der Diagonalisierung anstellen kann 452 Potenzieren nach Basiswechsel 453 Betrachten Sie den Gipfel 455 Der Spektralsatz für Endomorphismen 460 Anwendung des Spektralsatzes für den reellen Zahlenkörper 465 Anwendung des Spektralsatzes für den komplexen Zahlenkörper 468 Die charakteristische Gleichung an unerwarteter Stelle 470 Der Satz von Cayley-Hamilton 471 Anwendungen des Satzes von Cayley-Hamilton 472 Was Sie tun, wenn Sie oben angekommen sind 475 Teil V Der Top-Ten-Teil 477 Kapitel 18 Lineare Algebra in fast 10 Minuten 479 Linearität verstehen und keine Angst vor Algebra haben 479 Grundaspekte der analytischen Geometrie verinnerlichen 480 Gleichungssysteme mit geometrischen Objekten identifizieren 480 LGSe mit unterschiedlichen Methoden lösen 480 Zusammenhang von Matrizen und linearen Abbildungen begreifen 481 Determinanten und Eigenwerte als Herz einer Matrix betrachten 481 Basiswechsel als Spezialfall eines Isomorphismus erkennen 481 Diagonalisieren zur Ermittlung von Eigenwerten 482 Den Spektralsatz als Gipfel der Erkenntnis ansehen 482 Stichwortverzeichnis 485