Aufgabe zu Kapitel 1

Die Quantenmechanik leitet ihren Namen von der Tatsache ab, dass im mikroskopischen oder nanoskopischen Bereich einige physikalische Größen quantisiert auftreten. Nennen Sie Beispiele. Was ist ein Quantensprung? Ist er eher groß oder eher klein? Wodurch wird er bestimmt? Worin liegt seine Bedeutung? Es gibt eine Größe, von der schon vor der Entwicklung der Quantenmechanik bekannt war, dass sie quantisiert ist. Welche Größe ist das? Folgt ihre Quantisierung aus der Quantenmechanik?

Aufgaben zu Kapitel 2

Erläutern Sie die folgenden Begriffe:

1. Operator allgemein
2. Operator in der Quantenmechanik
3. Kommutator
4. Antikommutator
5. Hermitescher Operator

Aufgabe zu Kapitel 3

Wie lautet die allgemeinste Form der zeitunabhängigen Schrödingergleichung? Erläutern Sie die Komponenten dieser Gleichung. Wie muss man die Gleichung lesen? Welche Bedeutung besitzt diese Gleichung?

Aufgabe zu Kapitel 4

Welche Schritte muss man ausführen, um ein quantenmechanisches Problem zu lösen?

Aufgabe zu Kapitel 5

Betrachten Sie die Abbildung. Ein Elektron trifft auf eine Potentialstufe, wobei seine Energie höher als die Stufe ist. Beschreiben Sie, was der klassischen Physik zufolge an der Stufe passiert. Was sagt die Quantenmechanik zu dieser Situation? Erläutern Sie in diesem Zusammenhang die Begriffe Wahrscheinlichkeitsstromdichte, Transmissionskoeffizient und Reflexionskoeffizient.

Aufgabe zu Kapitel 6

Welche Gemeinsamkeiten besitzen ein klassischer und ein quantenmechanischer harmonischer Oszillator? Welche Unterschiede gibt es zwischen ihnen?

Aufgabe zu Kapitel 7

Wie ist der Drehimpuls definiert? Welchen Drehimpuls kann der klassischen Physik zufolge ein Teilchen besitzen? Welchen Drehimpuls ordnet die Quantenmechanik einem Teilchen zu?

Der Drehimpuls ist ein Vektor. Kann man quantenmechanisch alle drei seiner Komponenten beobachten? Wenn nicht: Begründen Sie dies. Welche Komponenten sind gleichzeitig beobachtbar? Gilt der Drehimpulserhaltungssatz der klassischen Physik auch in der Quantenmechanik?

Aufgabe zu Kapitel 8

Wie viele Quantenzahlen sind zur Beschreibung eines Zustands des Wasserstoffatoms erforderlich? Was beschreiben diese Quantenzahlen? Welche Werte können sie annehmen? Von welchen dieser Quantenzahlen hängt die Energie eines Zustands ab?

Aufgabe zu Kapitel 9

Nennen Sie Experimente, aus denen klar hervorgeht, dass Licht eine Welle ist. Welche Experimente zeigen, dass Licht Teilchencharakter besitzt? Nennen Sie Experimente, die jeweils den Teilchen‐Wellen‐Charakter von Elektronen belegen.

Sind Licht bzw. Elektronen nun Teilchen oder Wellen?

Aufgabe zu Kapitel 10

Was sind Bosonen und Fermionen? Geben Sie jeweils ein Beispiel an. Was besagt das Pauliprinzip? Warum gilt das Prinzip nur für Fermionen, nicht aber für Bosonen? Welche Konsequenzen hat dies für das allgemeine Verhalten von Fermionen und Bosonen?

Aufgabe zu Kapitel 11

Betrachten Sie ein Sandkorn mit einer Masse von 1 μg und einer Größe von 0,1 mm. Sie legen das Korn ab, wobei Sie die Position auf 1 μm genau bestimmen. Wie groß ist die Ortsunschärfe nach einem Tag, 10 Jahren und 10¹⁰ Jahren?

Welche Schlussfolgerung kann man aus diesem Gedankenexperiment ziehen?

Aufgabe zu Kapitel 12

Beschreiben Sie die folgenden Teilchen: Photon, Phonon, Polaron, Polariton, Proton, Positron, Plasmon. Welche von ihnen sind Quasiteilchen? Welche sind Bosonen und welche Fermionen?

Aufgabe zu Kapitel 13

Durch welche beiden außergewöhnlichen Materialeigenschaften zeichnen sich Supraleiter aus? Was ist ein Cooper‐Paar? Erläutern Sie qualitativ oder anschaulich, warum Cooper‐Paare die Eigenschaften von Supraleitern erklären. Wie viele Wellenfunktionen sind erforderlich, um alle Elektronen in einem Supraleiter zu beschreiben?

Aufgabe zu Kapitel 14

Was ist ein Quantenpunkt? Halbleitende Quantenpunkte besitzen ein großes Anwendungspotential für Laser und andere optische Anwendungen. Nennen Sie mindestens zwei Gründe dafür. Welche Rolle spielt der Bohr'sche Exzitonenradius dabei?

Lösung der Aufgabe zu Kapitel 1

Zu den quantisierten Größen gehört die Energie, die bei Licht nur als ganzzahliges Vielfaches von hν übertragen werden kann, wobei ν die Frequenz ist. Eine weitere quantisierte Größe ist der Drehimpuls eines Elektrons in einem Atom, der nur ganzzahlige Vielfache von ℏ annehmen kann.

Bei einem Quantensprung gelangt ein System von einem quantisierten Zustand in den nächsthöheren oder ‐tieferen. Er ist sehr klein, seine Größe wird durch das Planck'sche Wirkungsquantum h (oder das reduzierte Wirkungsquantum ℏ = h / 2π) bestimmt. Die Bedeutung des Quantensprungs liegt in der Tatsache, dass es keine dazwischenliegenden Zustände gibt es ist also wirklich ein Sprung erforderlich. (Dennoch wird das Wort in der Umgangssprache falsch benutzt.)

Schon vor der Entwicklung der Quantenmechanik war bekannt, dass Ladung nur als Vielfaches der Elementarladung auftreten kann. Dies wird in der Quantenmechanik vorausgesetzt und ergibt sich nicht aus ihr.

Lösung der Aufgaben zu Kapitel 2

1. Ein Operator ist ganz allgemein eine mathematische Vorschrift.
2. In der Quantenmechanik werden die Messgrößen der klassischen Physik in Form von Operatoren angegeben.
3. Der Kommutator zweier Operatoren A und B ist wie folgt definiert:

   

4. Die Definition des Antikommutators zweier Operatoren lautet:

   

5. Ein Operator A wird hermitesch genannt, wenn er gleich seinem Adjungierten ist, wenn also gilt:

   

Lösung der Aufgabe zu Kapitel 3

Die zeitunabhängige Schrödingergleichung lautet in ihrer allgemeinsten Form:

Die Komponenten der Gleichung lassen sich wie folgt beschreiben:

• H ist der Hamiltonoperator, also der der Gesamtenergie zugeordnete Operator.
• ψ(r) ist die Wellenfunktion, die das betrachtete System beschreibt.
• E ist der zu ψ(r) gehörende Energieeigenwert des betrachteten Systems.

Diese Gleichung muss man folgendermaßen lesen: Wendet man den Hamiltonoperator auf die ein System beschreibende Wellenfunktion an, erhält man die zugehörigen Energieeigenwerte. Die Schrödingergleichung bildet die Grundlage für nahezu alle Rechnungen in der Quantenmechanik.

Lösung der Aufgabe zu Kapitel 4

Zur Lösung eines quantenmechanischen Problems sind die folgenden Schritte erforderlich:

1. Man muss – ausgehend von einer Analyse der Problemstellung – die Schrödingergleichung aufstellen. Dazu ist es erforderlich, den Hamiltonoperator zu bestimmen.
2. Man ermittelt die bei dem Problem auftretenden Randbedingungen.
3. Man löst die Schrödingergleichung, d. h., man überlegt, welche Wellenfunktionen unter Berücksichtigung der Randbedingungen die Schrödingergleichung erfüllen.
4. Man normiert die Wellenfunktionen, um beispielsweise sicherzustellen, dass die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Teilchens in einem bestimmten Bereich gleich eins ist.
5. Man bestimmt die Energieniveaus.

Lösung der Aufgabe zu Kapitel 5

Der klassischen Physik zufolge passiert an der Grenzfläche überhaupt nichts, das Elektron würde einfach weiterfliegen. Die Quantenmechanik besagt allerdings, dass es eine gewisse Wahrscheinlichkeit gibt, dass das Elektron an der Grenzfläche reflektiert wird, obwohl seine Energie größer als die Potentialstufe ist.

Die Wahrscheinlichkeitsstromdichte spielt bei der Beschreibung dieses Vorgangs eine sehr wichtige Rolle. Sie ist wie folgt definiert:

Quantitativ werden die reflektierten bzw. transmittierten Anteile durch den Reflexions‐ bzw. den Transmissionskoeffizienten beschrieben, die folgendermaßen definiert sind:

Dabei sind R und T die Amplituden der reflektierten und der transmittierten Welle, k₁ und k₂ die Wellenvektoren in den beiden Bereichen.

Lösung der Aufgabe zu Kapitel 6

Sowohl für den klassischen als auch für den quantenmechanischen harmonischen Oszillator ist das Potential parabolisch. Beim klassischen Oszillator kann man den Ort des schwingenden Teilchens jederzeit genau angeben. Zudem kann das Teilchen jede beliebige Energie einnehmen.

Beim quantenmechanischen Oszillator hingegen ist die Energie quantisiert, es sind also nur diskrete Energieniveaus möglich. Zudem kann man den Ort des schwingenden Teilchens nicht genau angeben, sondern nur für jeden Ort eine Aufenthaltswahrscheinlichkeit.

Lösung der Aufgabe zu Kapitel 7

In der klassischen Physik besitzt ein Teilchen auf einer Kreisbahn mit dem Radius r den Drehimpuls

Dabei ist p der Impuls des Teilchens. Dieser Bahndrehimpuls ist klassisch gesehen der einzige Drehimpuls des Teilchens. Der Quantenmechanik zufolge besitzt ein Teilchen über diesen Bahndrehimpuls hinaus noch einen Eigendrehimpuls, den Spin, und einen Gesamtdrehimpuls, der die vektorielle Summe aus Bahn‐ und Eigendrehimpuls darstellt.

In der Quantenmechanik sind nicht alle drei Komponenten des Drehimpulses gleichzeitig beobachtbar. Der Grund dafür ist, dass die Operatoren der drei Komponenten nicht miteinander vertauschen. Es können nur das Betragsquadrat des Drehimpulses L² und eine seiner Komponenten, etwa L_z, gleichzeitig beobachtet werden. Der Drehimpulserhaltungssatz gilt auch in der Quantenmechanik, allerdings ist die Formulierung komplizierter als in der klassischen Physik.

Lösung der Aufgabe zu Kapitel 8

Zur Beschreibung eines Zustands eines Wasserstoffatoms sind vier Quantenzahlen erforderlich:

• Die Hauptquantenzahl n ergibt sich aus der Lösung der Radialgleichung.
• Die Drehimpuls‐ oder Nebenquantenzahl l beschreibt die Quantisierung des Drehimpulses.
• Die Magnetquantenzahl m ergibt sich aus der Quantisierung der z‐Komponente des Drehimpulses.
• Die Spinquantenzahl s beschreibt die Orientierung des Spins.

Diese Quantenzahlen können nicht jeden beliebigen Wert annehmen; vielmehr wird der Wertebereich durch die nächsthöhere Quantenzahl bestimmt:

• n ist eine beliebige positive Zahl.
• l ist durch den Wert von n begrenzt:

• Für den Wertebereich von m gilt:

• Die Spinquantenzahl kann die Werte 1/2 und −1/2 annehmen.

Die Energie eines Zustands des Wasserstoffatoms hängt nur von der Hauptquantenzahl ab.

Lösung der Aufgabe zu Kapitel 9

Die folgende Tabelle stellt die wichtigsten Experimente zusammen, die den jeweiligen Charakter belegen.

Bei Licht bzw. Elektronen handelt es sich um quantenmechanische Objekte, die durch Wellenfunktionen beschrieben werden müssen. Es gibt für sie in der makroskopischen Welt kein Analogon. Daher kann man nur sagen, dass sich etwa Licht unter bestimmten Umständen wie eine Welle verhält, unter anderen aber wie Teilchen.

Lösung der Aufgabe zu Kapitel 10

Bosonen sind Teilchen mit ganzzahligem Spin, Fermionen solche mit halbzahligem. Photonen sind mit s = 1 Bosonen, Elektronen mit s = 1/2 Fermionen. Das Pauliprinzip besagt, dass in einem System (etwa einem Atom) zwei Fermionen niemals den gleichen Zustand einnehmen können, also niemals in allen Quantenzahlen übereinstimmen können. Bosonen hingegen können den gleichen Zustand einnehmen. Der Grund dafür ist die Forderung der Quantenmechanik, dass die Wellenfunktion von Bosonen symmetrisch sein muss, die von Fermionen aber antisymmetrisch.

Als Folge des Pauliprinzips unterliegen Fermionen und Bosonen völlig unterschiedlichen Statistiken, Fermionen der Fermi‐Dirac‐Statistik, Bosonen hingegen der Bose‐Einstein‐Statistik.

Lösung der Aufgabe zu Kapitel 11

Der Heisenberg'schen Unschärferelation zufolge gilt zwischen der Ortsunschärfe und der Impulsunschärfe eines Teilchens die Beziehung:

Die Ortsunschärfe des Sandkorns ist in der Aufgabenstellung gegeben. Aus der Unschärferelation ergibt sich für die Geschwindigkeitsunschärfe des Korns:

Aus dieser Geschwindigkeitsunschärfe ergibt sich eine mit der Zeit zunehmende Ortsunschärfe:

Ein Tag hat 86400 s, ein Jahr 365,25 Tage. Damit ergibt sich für die Ortsunschärfe nach den verschiedenen Zeiten:

Obwohl das Sandkorn sehr klein ist, ist es makroskopischer Natur. In überschaubarer Zeit ist die sich ergebende Ortsunschärfe vernachlässigbar. Die Heisenberg'sche Unschärferelation spielt also bei makroskopischen Körpern keine Rolle. Der Zeitraum von 10¹⁰ Jahren entspricht im etwa dem Alter des Universums.

Lösung der Aufgabe zu Kapitel 12

Die sieben Teilchen können folgendermaßen beschrieben werden:

• Photon: Ein Photon ist ein Quant einer elektromagnetischen Welle.
• Phonon: Eine quantisierte Gitterschwingung.
• Polaron: Ein Elektron in einem polarisierbaren Medium erzeugt eine Polarisationswolke, die sich mit dem Elektron bewegt. Das Elektron mit der Wolke, die es umgibt, kann als Teilchen beschrieben werden.
• Polariton: Ein Quasiteilchen, das bei der Kopplung eines elektromagnetischen Feldes mit einem angeregten Zustand mit einem Dipolmoment in einem Festkörper erzeugt wird.
• Proton: Ein positiv geladener Baustein des Atomkerns.
• Positron: Das Antiteilchen des Elektrons.
• Plasmon: Ein Schwingungsquant von Plasmawellen in einem Festkörper.

Quasiteilchen können außerhalb ihres Wirtskörpers nicht existieren. Daher sind Phononen, Polaronen, Polaritonen und Plasmonen Quasiteilchen.

Bosonen sind Teilchen mit ganzzahligem Spin, während Fermionen einen halbzahligen Spin besitzen. Photonen, Phononen, Polaritonen und Plasmonen sind Bosonen, die übrigen drei Fermionen.

Lösung der Aufgabe zu Kapitel 13

Supraleiter zeichnen sich durch die folgenden beiden Eigenschaften aus:

1. Unterhalb einer Sprungtemperatur verschwindet der elektrische Widerstand vollständig.
2. Supraleiter sind ideale Diamagneten, d.h., sie verdrängen ein äußeres Magnetfeld vollständig aus ihrem Inneren.

Ein Cooper‐Paar ist ein Quasiteilchen aus zwei gebundenen Elektronen, die sich gemeinsam durch einen Kristall bewegen. Im Gegensatz zu Elektronen, die Fermionen sind, sind Cooper‐Paare Bosonen, unterliegen also nicht dem Pauliprinzip und können daher alle den Grundzustand einnehmen. Man kann alle Cooper‐Paare in einem Kristall gemeinsam durch eine einzige Wellenfunktion beschreiben, die Bose‐Einstein‐Wellenfunktion. Wechselwirkungen von Cooper‐Paaren mit dem Gitter sind ausgeschlossen, daher verschwindet der elektrische Widerstand.

Lösung der Aufgabe zu Kapitel 14

Ein Quantenpunkt ist ein Material, dessen Dimensionen in allen drei Richtungen so gering sind, dass sie kleiner sind als der Bohr'sche Exzitonenradius, der die Größe eines Exzitons angibt. Daher ist die Elektronenbewegung in alle drei Raumrichtungen eingeschränkt (Elektronen‐Confinement).

Das Anwendungspotential von Quantenpunkten in optischen Elementen beruht auf zwei Gründen:

• Durch das Elektronen‐Confinement sind die Zustände in Quantenpunkten diskret. Daraus ergeben sich extrem scharfe Übergänge.
• Die Emissionswellenlänge von Quantenpunkten kann über die Partikelgröße eingestellt werden. Man kann mit diesem Parameter also mit jedem Halbleitermaterial jede Wellenlänge erzeugen.