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Analysis II für Dummies

Inhaltsverzeichnis

Analysis II für Dummies – Schummelseite
Titel
Impressum
Einführung
Zu diesem Buch
Konventionen in diesem Buch
Was Sie nicht lesen müssen
Falsche Voraussetzungen
Wie dieses Buch aufgebaut ist
Teil I: Einführung der Integration
Teil II: Unbestimmte Integrale
Teil III: Fortgeschrittene Integration
Teil IV: Unendliche Reihen
Teil V: Fortgeschrittene Themen
Teil VI: Der Teil der Zehn
Symbole in diesem Buch
Wie es weitergeht
Teil I - Einführung in die Integration
1 - Ein flächendeckender Ansatz für das Flächenproblem
Es geht um die Fläche!
Vergleich der klassischen und der analytischen Geometrie
Ein neuer Studienbereich
Verallgemeinerung des Flächenproblems
Das bestimmte Integral liefert bestimmte Antworten
Aufgeschnitten
Annäherung an ein schwieriges Problem mit Hilfe von Rechtecken
Eine Formel für die Flächenbestimmung aufbauen
Definition des Unbestimmten
Mit der Integration Aufgaben lösen
Ganz einfach: Die Fläche zwischen Kurven bestimmen
Die lange und kurvige Straße
Drehkörper
Unendliche Reihen
Folgen und Reihen unterscheiden
Reihen auswerten
Konvergente und divergente Reihen erkennen
Fortschreiten in die fortgeschrittene Mathematik
Mannigfaltige Analysis
Differentialgleichungen
Fourier-Analyse
Numerische Analyse
2 - Weg mit den Geistern der Vergangenheit: Ein Überblick über die Grundlagen der Analysis und Analysis I
Vergessen aber immer präsent: Ein Überblick über die Grundlagen der Analysis
Fakten über Fakultäten
Polynome aufpolieren
Potenzial durch Potenzen (Exponenten)
Die trigonometrische Notation
Winkel mit dem Bogenmaß vereinen
Allgemeine Funktionen graphisch darstellen
Asymptoten
Transformation stetiger Funktionen
Einige wichtige trigonometrische Beziehungen identifizieren
Polarkoordinaten
Zusammenfassendes über die Sigma-Notation
Jüngste Erinnerungen: Ein Rückblick auf Analysis I
Grenzen kennen
Steigungen mit Hilfe von Ableitungen bestimmen
Die Grenzwertformel für Ableitungen
Zwei Notationen für Ableitungen
Die Differentiation verstehen
Mit der Regel von L’ Hospital Grenzwerte bestimmen
Bestimmte und unbestimmte Formen von Grenzwerten verstehen
Die Regel von L’Hospital – Einführung
Alternative unbestimmte Formen
3 - Vom Bestimmten zum Unbestimmten: Das unbestimmte Integral (Stammfunktion )
Eine Annäherung an die Integration
Drei Wege, Fläche mit Hilfe von Rechtecken anzunähern
Der Schlupffaktor
Zwei weitere Methoden, Fläche anzunähern
Summenformeln im Überblick
Die Summenformel für Aufzählungen
Die Summenformel für Quadratzahlen
Die Summenformel für Kubikzahlen
Schlimmer geht’s immer: Berechnung bestimmter Integrale mit Hilfe der Riemann-Summenformel
Die Integrationsgrenzen einsetzen
Die Funktion als Summe mit i und n ausdrücken
Die Summe berechnen
Das Problem mit einer Summenformel lösen
Den Grenzwert berechnen
Licht am Ende des Tunnels: Der Hauptsatz der Differential-und Integralrechnung (HDI)
Den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung verstehen
Was hat die Steigung damit zu tun?
Einführung in die Flächenfunktion
Mathematische Verknüpfung von Steigung und Fläche
Eine dunkle Seite des Hauptsatzes der Differential-und Integralrechnung
Ihr neuer bester Freund: Das unbestimmte Integral (Stammfunktion)
Einführung der Anti-Differentiation
Flächenprobleme ohne die Riemann-Summenformel lösen
Vorzeichenbehaftete Fläche verstehen
Unterscheidung bestimmter und unbestimmter Integrale
Teil II - Unbestimmte Integrale
4 - Integration aus der Tüte: Einfach nur Wasser hinzufügen (und C)
Grundlegende Integrale berechnen
Die 17 grundlegenden Anti -Ableitungen für die Integration verwenden
Drei wichtige Integrationsregeln
Und was ist mit den anderen Regeln passiert?
Berechnung schwierigerer Integrale
Polynome integrieren
Rationale Ausdrücke integrieren
Mit Hilfe von Beziehungen trigonometrische Funktionen integrieren
Integrierbarkeit verstehen
Die beiden Täuschungsmanöver der Integrierbarkeit
Was bedeutet Integrierbarkeit eigentlich?
5 - Schneller Wechsel: Variablensubstitution
Anwendung der Variablensubstitution
Das Integral verschachtelter Funktionen bestimmen
Das Integral eines Produkts bestimmen
Integration einer Funktion, die mit einer Menge verschachtelter Funktionen multipliziert wird
Erkennen, wann die Substitution anzuwenden ist
Verschachtelte Funktionen integrieren
Eine Abkürzung für verschachtelte Funktionen
Substitution, wenn ein Teil einer Funktion zu dem anderen Teil differenziert wird
Mit Hilfe der Substitution bestimmte Integrale berechnen
6 - Partielle Integration
Partielle Integration – Einführung
Umkehr der Produktregel
Wissen, wie die partielle Integration durchgeführt wird
Wissen, wann eine partielle Integration angebracht ist
Partielle Integration mit der DI-agonal-Methode
Die DI-agonal-Tabelle
Anwendung der DI-agonal-Methode
7 - Trigonometrische Substitution: Kennen Sie alle Dreiecke?
Die sechs trigonometrischen Funktionen integrieren
Potenzen von Sinus und Kosinus integrieren
Ungerade Potenzen von Sinus und Kosinus
Gerade Potenzen von Sinus und Kosinus
Potenzen von Tangens und Sekans integrieren
Gerade Potenzen von Sekans mit Tangens
Ungerade Potenzen von Tangens mit Sekans
Ungerade Potenzen von Tangens ohne Sekans
Gerade Potenzen von Tangens ohne Sekans
Gerade Potenzen von Sekans ohne Tangens
Ungerade Potenzen von Sekans ohne Tangens
Gerade Potenzen des Tanges mit ungeraden Potenzen des Sekans
Potenzen von Kotangens und Kosekans integrieren
Integration seltsamer Kombinationen trigonometrischer Funktionen
Funktionen mit Hilfe von Beziehungen umformen
Anwendung der trigonometrischen Substitution
Drei Fälle für die trigonometrische Substitution unterscheiden
Die drei Fälle integrieren
Wissen, wann eine trigonometrische Substitution zu vermeiden ist
8 - Wenn sonst nichts mehr geht: Integration durch Partialbrüche
Seltsam aber wahr: Partialbrüche verstehen
Partialbrüche genauer betrachtet
Partialbrüche für rationale Ausdrücke verwenden
Integrale mit Hilfe von Partialbrüchen lösen
Einrichtung von Partialbrüchen abhängig von der Situation
Das ABC der Unbekannten
Partialbrüche integrieren
Unechte rationale Ausdrücke integrieren
Echte und unechte rationale Ausdrücke unterscheiden
Zurück zur Polynomdivision
Ein Beispiel
Teil III - Integration für Fortgeschrittene
9 - Flächendeckend Flächenprobleme lösen
Machen wir zwei daraus
Uneigentliche Integrale
Es wird horizontal
In die Vertikale!
Flächenprobleme mit mehreren Funktionen lösen
Die Fläche unter mehr als einer Funktion finden
Die Fläche zwischen zwei Funktionen bestimmen
Die Suche nach dem Zeichen
Vorzeichenlose Fläche zwischen Kurven mit Hilfe eines schnellen Tricks bestimmen
Der Mittelwertsatz der Integralrechnung
Bogenlängen berechnen
10 - Volumen den ganzen Tag: Mit Analysis 3D-Aufgaben lösen
Schneiden Sie sich den Weg frei!
Das Volumen eines Körpers mit kongruenten Querschnitten bestimmen
Das Volumen eines Körpers mit ähnlichen Querschnitten bestimmen
Das Volumen einer Pyramide bestimmen
Das Volumen eines unregelmäßigen Körpers bestimmen
Ein Problem auf die Seite gelegt
Zwei revolutionäre Probleme
Ihr Verständnis für Rotationskörper verfestigen
Die Rotationsfläche bestimmen
Den Abstand ermitteln
Lassen Sie sich einwickeln!
Das Etikett einer Suppendose entfernen und messen
Anwendung der Mantelflächenmethode
Wissen, wann und wie 3D-Aufgaben zu lösen sind
Teil IV - Unendliche Reihen
11 - Folgen und Reihen
Unendliche Folgen
Notationen für Folgen
Konvergente und divergente Folgen
Unendliche Reihen
Die Sigma-Notation
Sigma-Notation in erweiterter Form
Mehrere Methoden für die Sigma-Notation
Die Faktorregel für Reihen
Die Summenregel für Reihen
Verknüpfung einer Reihe mit ihren zwei verwandten Folgen
Eine Reihe und ihre definierende Folge
Eine Reihe und ihre Partialsummenfolgen
Geometrische Reihen und P-Reihen erkennen
Geometrische Reihen
Die p-Reihe
12 - Wohin führt das Ganze? Konvergenzkriterien
Wir beginnen ganz vorne
Das Trivialkriterium
Viele Wege führen nach Rom
Tests in eine Richtung
Tests in zwei Richtungen
Vergleichstests
Direkte Antworten mit dem direkten Vergleichstest suchen
Die Grenzen mit dem Grenzwertvergleichstest austesten
Tests auf Konvergenz und Divergenz in zwei Richtungen
Eine Lösung mit dem Integralkriterium finden
Aufgaben mit dem Quotientenkriterium rational lösen
Mit dem Wurzelkriterium zu den Wurzeln unserer Antworten
Alternierende Reihen
Zwei Formen grundlegender alternierender Reihen erkennen
Aus alt mach neu
Auf konvergenten positiven Reihen basierende alternierende Reihen
Der Test auf alternierende Reihen
Absolute und bedingte Konvergenz verstehen
Alternierende Reihen testen
13 - Schicke Funktionen mit der Taylor-Reihe
Grundlegende Funktionen
Zwei Nachteile von grundlegenden Funktionen
Warum sind Polynome so nett?
Grundlegende Funktionen als Polynome darstellen
Grundlegende Funktionen als Reihen darstellen
Potenzreihen: Doping für Polynome
Potenzreihen integrieren
Das Konvergenzintervall verstehen
Funktionen als Reihen ausdrücken
sin x als Reihe ausdrücken
cos x als Reihe ausdrücken
Die Maclaurin-Reihe
Die Taylor-Reihe
Rechnen mit der Taylor-Reihe
Konvergente und divergente Taylor-Reihen betrachten
Funktionen ausdrücken und Funktionen annähern
Fehlerspannen für Taylor-Polynome berechnen
Warum funktioniert die Taylor-Reihe?
Teil V - Fortgeschrittene Themen
14 - Mehrdimensionale Analysis
Vektoren visualisieren
Vektoren – Grundlagen
Vektoren und Skalare unterscheiden
Rechnen mit Vektoren
Der Sprung in eine andere Dimension
Verwendung alternativer 3D-Koordinatensysteme
Funktionen von mehreren Variablen
Partielle Ableitungen
Steigung in drei Dimensionen messen
Partielle Ableitungen auswerten
Mehrfachintegrale
Volumen unter einer Oberfläche messen
Mehrfachintegrale berechnen
15 - Was ist so anders an Differentialgleichungen?
Grundlagen der Differentialgleichungen
DGs klassifizieren
Genauere Betrachtung der DGs
Differentialgleichungen lösen
Separierbare Gleichungen lösen
Anfangswertprobleme (AWPs) lösen
Einen Integrationsfaktor verwenden
Teil VI - Der Teil der Zehn
16 - Zehn Aha!-Einsichten in Analysis II
Integrieren bedeutet, die Fläche zu bestimmen
Beim Integrieren ist Fläche vorzeichenbehaftete Fläche
Integration ist spektakuläre Addition
Integration verwendet unendlich viele unendlich dünne Scheiben
Integration beinhaltet einen Schlupffaktor
Die Berechnung eines bestimmten Integrals ergibt eine Zahl
Die Berechnung eines unbestimmten Integrals ergibt eine Funktion
Integration ist inverse Differentiation
Jede unendliche Reihe hat zwei zugehörige Folgen
Jede unendliche Reihe konvergiert oder divergiert
17 - Zehn Tipps, um die Prüfung zu bestehen
Atmen!
Lesen Sie sich die Prüfung genau durch!
Die einfachste Aufgabe als Erstes lösen!
Vergessen Sie nicht, dx und + C hinzuschreiben!
Machen Sie es sich so einfach wie möglich!
Wenn Sie stecken bleiben, kritzeln Sie!
Wenn Sie wirklich stecken bleiben, überspringen Sie die Aufgabe!
Prüfen Sie Ihre Antworten!
Wenn eine Lösung keinen Sinn ergibt, kommentieren Sie sie!
Wiederholen Sie Ihr Mantra »Ich tue mein Bestes«, und tun Sie dann Ihr Bestes!
Stichwortverzeichnis