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Inhaltsverzeichnis

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Autor

Jürgen Audretsch

Universität Konstanz, Fachbereich Physik

e-mail:

Umschlagbild

Itten, Johannes: Die Begegnung, 1916

© VG Bild-Kunst, Bonn 2004

Vorwort

Dieses Buch ist ein

Lehrbuch der theoretischen Physik.

Es ist aus Vorlesungen und Seminaren entstanden, die ich in den letzten Jahren an der Universität Konstanz zum Thema

Quanteninformationstheorie und
die Grundlagen der Quantentheorie

gehalten bzw. veranstaltet habe.

Die unrelativistische Quantenphysik hat in den letzten ein bis zwei Jahrzehnten eine stürmische Entwicklung durchgemacht. Quantencomputer, Quantenteleportation, Quantenkryptographie, Quanteninformation sind die typischen Schlagwörter, die über den Kreis der Physiker hinaus in populärwissenschaftlichen Artikeln und im Feuilleton mit dieser Entwicklung verbunden werden. Das Konzept der Verschränkung ist das zentrale theoretische Konzept auf diesen „neuen Wegen“der Quantenphysik, die immer häufiger auch im Physikunterricht an den Schulen beschrieben werden. Die theoretischen Grundlagen der neuen Entwicklungen sind das Thema dieses Buches.

An wen wendet sich das Buch? Das Buch wendet sich in erster Linie an Studenten, aber darüber hinaus auch an alle, die an der Quantenphysik interessiert oder vielleicht sogar von ihr fasziniert sind. Es sollen aber nicht nur Physikstudenten und Physiker, sondern auch Studenten der Informatik, Chemie und anderer Naturwissenschaften, sowie Ingenieure und Lehrer angesprochen werden. Das Buch setzt voraus, dass der Leser schon durch eine Lehrveranstaltung oder durch Selbststudium erste Einblicke in die Quantentheorie hatte. Es fängt also nicht bei null an.

Allerdings werden alle mathematischen und physikalischen Grundkenntnisse, die für die Lektüre späterer Kapitel benötigt werden, als Einstieg in den Anfangskapiteln 1 und 2 wiederholt und aus einer für den Leser möglicherweise neuen Sicht aufgearbeitet. Dabei soll u.a. darauf vorbereitet werden, dass in der Quantentheorie die Konzepte Zustand und Zustandsentwicklung einschließlich Messung anders als in der klassischen Physik zu verstehen sind. Hier-auf bauen die in den späteren Kapiteln beschriebenen Verallgemeinerungen auf. Das zweite Kapitel enthält auch ein wissenschaftstheoretisches Rüstzeug, mit dem die Frage diskutiert werden kann, auf welche Realität sich die Quantentheorie bezieht.

Anschließend steigen die Anforderungen an den Leser von Kapitel zu Kapitel an. Die Kapitel bauen aufeinander auf. Übungsaufgaben können zur Kontrolle dienen. Kursiv geschriebene Sätze fassen Ergebnisse zusammen. Fortgeschrittene Leser können mit ihrer Hilfe den Text schnell querlesen.

Zielsetzung Dieses Buch will dem Leser dabei helfen, die raschen Entwicklungen der Quanteninformationstheorie besser überblicken, einordnen und mit angemessenem Aufwand nachvollziehen zu können.

Beschränkung und Ergänzung Der Anspruch an mathematische Präzision entspricht dem der gebräuchlichen Lehrbücher der theoretischen Physik. Inhaltlich beschränke ich mich auf die theoretischen Aspekte. Die Beschreibung der entsprechenden Experimente und technischen Anwendungen würde noch einmal so viele Kapitel benötigen. Jedes Kapitel enthält aber ein Unterkapitel über ergänzende Themen und weiterführende Literatur. Dort wird auf Experimente hingewiesen.

Diese Unterkapitel weisen auch auf theoretische Übersichtsartikel und Bücher hin. Mit deren Hilfe kann der Leser das Dargestellte vervollständigen und vertiefen. Zusammenfassenden Darstellungen wurde gegenüber Originalartikeln der Vorzug gegeben. Es werden also nicht die für die Entwicklung wichtigen Arbeiten rückblickend historisch korrekt aufgelistet, vielmehr sollen in erster Linie für den Leser nützliche weiterführende Literaturhinweise gegeben werden.

Inhalt Im Anschluss an die beiden ersten Kapitel wird in Kap. 3 und 4 zunächst die Physik abgeschlossener Quantensysteme weiterentwickelt. Viele Beispiele und Anwendungen beziehen sich auf Qubits (2-Niveau-Systeme). Mit dem Dichteoperator wird das Konzept des Quantenzustands in Kap. 4 abschließend erweitert. Allgemeinere Zustände gibt es nicht. Kapitel 5 und 6 führen in das klassische bzw. quantentheoretische Entropie- und Informationskonzept ein.

Die Grundlagen der Physik zusammengesetzter Quantensysteme werden in Kap. 7 beschrieben. Dass sich Teilsysteme zusammen in einem verschränkten Zustand befinden können, hat eine Vielzahl von überraschenden Effekten zur Folge. Eine Einführung wird in Kap. 8 gegeben. Verschränkung bedingt Korreliertheit der Teilsysteme. Zur Nicht-Lokalität der Zustände treten noch die Möglichkeiten nicht-lokaler Messungen hinzu (Kap. 9).

Die experimentell nachgewiesenen spezifischen Quantenkorrelationen (EPR-Korrelationen) bestätigen die fundamentale Aussage, dass es keine klassische Alternative zur Quantentheorie gibt (Kap. 10). Diese EPR-Korrelationen können zur Grundlage einer im Prinzip völlig abhörsicheren Quantenkryptographie gemacht werden. Auch die Quantenteleportation beruht auf ihnen (Kap. 12). Für den Quantencomputer ist Verschränkung ein wesentliches Hilfsmittel. Die Ausnutzung der Quantenparallelität erlaubt es, sehr viele Funktionswerte in sehr wenigen Operationen zu berechnen. Das Problem ist dann das Auslesen der Ergebnisse (Kap. 12).

In Kap. 13 wenden wir uns der allgemeinen Dynamik offener Quantensysteme zu und diskutieren zunächst verallgemeinerte Messungen, die die projektiven Messungen als Spezialfall enthalten. Sie spielen zusammen mit den operatorwertigen Maßen (POVM) eine immer größere Rolle in den aktuellen Publikationen. Die allgemeine Entwicklung von offenen Quantensystemen zwischen Präparation und Messung wird mit Hilfe der Quantenoperationen beschrieben. Verschiedene Quantenkanäle werden diskutiert (Kap. 14). Die Verallgemeinerung der projektiven Messungen und der unitären Transformationen führen auf ein neues Szenario der Quantenphysik.

Dekohärenz ist der Verlust der Interferenzfähigkeit und stellt daher ein Problem beim Quantencomputer dar. Umgekehrt spielt die umgebungsinduzierte Dekohärenz eine wichtige Rolle bei der Beantwortung der Frage warum es klassische Objekte gibt (Kap. 15). Es liegt nahe, diesen Ansatz auch bei der Begründung des Quantenmessprozesses zu versuchen. Mit dem Nachtrag einiger Beweise in Kap. 16 schließt das Buch ab.

Danksagungen An erster Stelle möchte ich mich bei meiner Frau für ihre Geduld bedanken. Die langjährige Zusammenarbeit mit Thomas Konrad hat sehr zum vertieften Verständnis des Stoffes beigetragen. Der „Montagsrunde“mit Thomas Konrad, Michael Nock und Artur Scherer verdanke ich ebenfalls viele Hinweise, Anregungen und Korrekturen. Vor allen Dingen haben die vielen gemeinsamen Diskussionen dafür gesorgt, dass die Begeisterung für das Thema nicht nachgelassen hat. Joseph Demuth hat die Entstehung des Manuskripts mit Hinweisen und Kommentaren begleitet. Jan Nötzold und Marcus Kubitzki haben bei der Erstellung des Manuskripts geholfen, aber ohne das unermüdliche Engagement von Stefan Bretzel und insbesondere von Michael Nock wäre das Manuskript nicht termingerecht fertig geworden. Ihnen allen vielen Dank. Danken möchte ich schließlich noch dem Zentrum für angewandte Photonik (CAP) an der Universität Konstanz für seine Unterstützung.

Jürgen Audretsch

Konstanz, im Januar 2005

1

Der mathematische Rahmen

Es ist die Aufgabe der Quantentheorie – genau wie die jeder anderen physikalischen Theorie – das Ergebnis von Experimenten vorherzusagen und diese Prognose zu begründen. Dazu muss man den Zustand des physikalischen Systems zu Beginn eines Experiments beschreiben, man muss die Entwicklung des Systems während des Experiments formulieren und das Ergebnis einer Wechselwirkung mit dem Messapparat vorhersagen können. Der mathematische Rahmen, der sich für die Formulierung der Quantentheorie bewährt hat, ist die Theorie des Hilbert-Raums und die Wahrscheinlichkeitstheorie. Die fundamentale Verknüpfung zwischen mathematischen Größen und physikalischer Realität wird dabei über die folgenden Zuordnungen etabliert:

Quantensystem Hilbert-Raum
Quantenzustand Vektor im oder Operator auf dem Hilbert-Raum
Entwicklung des Quantenzustands Lineare Operatoren, die auf den Vektoren wirken bzw. lineare Operatoren, die auf den Raum der Operatoren (Liouville-Raum) wirken.
Prognosen Wahrscheinlichkeitstheoretische Aussagen.

Wir werden dieses Grundschema der Quantentheorie noch im Einzelnen darstellen. In diesem Kapitel sollen zunächst die benötigten Definitionen und Sätze zusammengestellt werden. Dabei werden wir nicht alle mathematischen Sätze beweisen. Insbesondere werden wir voraussetzen, dass der Leser schon einmal Kontakt mit der Quantentheorie hatte, sodass die Darstellung knapp gehalten werden kann.

Da wir durchweg d-Niveau-Quantensysteme (d = 2 , 3 , . . .) untersuchen werden, wollen wir eine stark vereinfachende Einschränkung machen:

Mathematische Generalvoraussetzug: Wir betrachten Quantensysteme, die mit Hilfe eines endlich-dimensionalen Hilbert-Raumsimage der Dimension d = 2, 3, . . . beschrieben werden können.

Die Einschränkung ist gerechtfertigt, weil die wesentlichen begrifflichen Probleme sowie die neuen Konzepte und zentralen Methoden bereits mit Bezug auf einen endlichdimensionalem Hilbert-Raum eingeführt werden können. Wir wollen den konzeptionellen physikalischen Problemen nicht noch mathematische Subtilitäten hinzufügen. Für die meisten physikalisch relevanten Fällen, die eine Beschreibung im unendlich-dimensionalen Hilbert-Raum erfordern, lassen sich die Ergebnisse für endlich-dimensionale Räume direkt übertragen.

Wie in der theoretischen Physik üblich, werden wir die Dirac-Schreibweise benutzen. In diesem Rahmen ist es günstig, die dyadische Zerlegung von Operatoren in den Mittelpunkt der Behandlung zu stellen. Sie ist für praktische Anwendungen wichtig, da sie ein einfaches direktes Ablesen von Operatoreigenschaften und Operatorwirkungen erlaubt.

1.1 Hilbert-Raum der Vektoren

1.1.1 Skalarprodukt, Dirac-Schreibweise

Ein d-dimensionaler Hilbert-Raum image, wie er in der Quantentheorie verwendet wird, ist ein linearer Vektorraum über dem Körper der komplexen Zahlen image, auf dem ein Skalarprodukt definiert ist. Die Vektoren bezeichnen wir durch | φ 〉, | ψ 〉, | u 〉, |Φ) usw., |Null 〉 ist der Nullvektor.

Addition, Multiplikation mit einer komplexen Zahl, lineare Unabhängigkeit, Basis und Dimension des Hilbert-Raums image sind analog zu den Begriffen in reellen Vektorräumen definiert.

Je zwei Vektoren | φ 〉 und | ψ 〉 ist als Skalarprodukt(scalar product) oder inneres Produkt (inner product) eine komplexe Zahl zugeordnet, die wir in der Form 〈 φ| ψ 〉 schreiben. Als Grundlage für diese Dirac-Schreibweise (Dirac notation) haben wir einen Ket-Raum mit den Ket-Vektoren | φ 〉, | ψ,….. und den hierzu dualen Vektorraum der Bra-Vektorenχ|, 〈 θ|,….eingeführt (Raum der linearen Funktionale). Es ist eine Korrespondenz zwischen den Vektoren des Ket- und des Bra-Raum erklärt (wir verwenden das gleiche Kernsymbol).

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die duale Korrespondenz (dual correspondence) genannt wird. Dabei wird dem Ket-Vektor | φ= c1| φ1+ c2| φ2〉 eineindeutig der Bra-Vektor 〈 φ| = c*1φ1 | + c*2φ2| zugeordnet (∗ bedeutet konjugiert komplex). Die Reihenfolge im Produkt 〈 φ| ψ 〉 ist daher wichtig. Es gilt:

(1.2) image

Daraus folgt

(1.3) image

Das Skalarprodukt ist linear im zweiten Argument und antilinear im ersten Argument. Falls 〈 φ| ψ 〉 = 0 gilt, werden die Vektoren als zueinander orthogonal (orthogonal) bezeichnet.

Durch das Produkt wird auf dem Hilbert-Raum eine Norm (norm) gemäß

(1.4) image

induziert. Sie verschwindet genau dann, wenn | φ 〉 der Nullvektor ist. Wir erwähnen ohne Beweis die Schwarzsche Ungleichung

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und die Dreiecksungleichungen

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Durch Einsetzen bestätigt man

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sowie die Parallelogrammgleichung

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Für einen Satz {| φ1〉 | φ2〉,…...,| φl 〉} von Vektoren aus image wird durch span{| φ1,...,| φl 〉} die Menge aller möglichen Linearkombinationen dieser Vektoren bezeichnet. Diese Menge bildet einen Unterraum von image der ebenfalls ein Hilbert-Raum ist. Wir bezeichnen eine orthonormale Basis (orthonormal basis) mit ONB. Für eine ONB {| i〉, i = 1,……,d} gilt die Identität

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mit den Komponenteni| φ 〉 des Vektors | φ 〉 bezüglich der ONB. Zu einem Unterraum image von image bildet die Menge aller Vektoren | ψ, die zu allen Vektoren image orthogonal sind (〈 ψ| χ 〉=0), einen weiteren Unterraum von image der das orthogonale Komplement (orthogonal complement) image genannt wird. Die direkte Summe beider Unterräume ist wieder der Hilbert-Raum image.

1.1.2 Lineare Operatoren auf dem Hilbert-Raum

Lineare Operatoren(linear operators) A,B,... bilden Ket-Vektoren in linearer Weise aufeinander ab

(1.10) image

image. Für den Identitätsoperator image für alle | ψ 〉 aus image. Der Definitionsbereich von A muss nicht der gesamte Hilbert-Raum sein und der Wertebereich muss nicht mit dem Definitionsbereich übereinstimmen. Wenn nötig, weisen wir darauf hin. Für den inversen Operator (invers operator) A–1 gilt image.

Wir wollen die Dirac-Schreibweise weiter ausbauen und vereinbaren, dass Operatoren auf dem Bra-Raum von rechts auf die Bra-Vektoren wirken sollen:

(1.11) image

Die Operatoren auf dem Ket-Raum wirken entsprechend von links. Wir schreiben für den resultierenden Vektor

(1.12) image

Dem Ket-Vektor | ψ′ 〉 entspricht über die duale Korrespondenz ein Bra-Vektor 〈 ψ′ |

(1.13) image

Wir führen noch zusätzlich eine duale Korrespondenz für Operatoren ein. In der Dirac-Schreibweise wird der zum Ket-Operator A korrespondierende Bra-Operator ebenfalls mit demselben Symbol A bezeichnet und durch folgende Bedingung an die Skalarprodukte festgelegt (erste Gleichung):

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Die zweite Gleichung ist eine für die Dirac-Schreibweise charakteristische geschickte Abkürzung.

Adjungierter Operator Die duale Korrespondenz für Vektoren ordnet dem Ket-Vektor ) einen Bra-Vektor 〈 ψ| zu und dem Ket-Vektor | ψ′ 〉 einen Bra-Vektor〈 ψ′ | :

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Hiervon ausgehend definieren wir einen zu einem Operator A im Ket-Raum adjungierten Operator (adjoint operator) A im Bra-Raum, der die linken Seiten der und verknüpftund 〈 ψ| auf 〈 ψ′ | abbildet:

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Bei der dualen Schreibweise von Operatoren wird sich diese Relation als nützlich erweisen.

Über die duale Korrespondenz der Operatoren ist damit aber wiederum ein Ket-Operator A eingeführt. Wir werten 〈 ψ′ | φ 〉mit und aus.

(1.18) image

und fassen zusammen

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Mit 〈 φ|ψ 〉= 〈 ψ| φ 〉* folgt aus

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Zweifache Anwendung der ergibt

(1.21) image

für beliebige Vektoren 〈 φ| und 〈 ψ|. Daher gilt

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und wir erhalten die der entsprechende Relation

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In ähnlicher Weise überzeugt man sich leicht von der Gültigkeit der folgenden Operatorrelationen:

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Neben der Definition werden die Gleichungen und häufig verwendet.

Dyadische Zerlegung Aus zwei Vektoren |u 〉 und |v| können wir das dyadische Produkt (outer product) oder die Dyade (dyad) |u 〉 〈 v| bilden. Sie ist ein linearer Operator

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der in einen Vektor parallel zu |u 〉 überführt. Dabei gilt

(1.26) image

Für Operatorprodukte finden wir

(1.27) image

Wir haben in gesehen, dass sich mit Hilfe einer ONB { |ii = 1 ,..., d} des Hilbert-Raums der Identitätsoperator dyadisch darstellen lässt:

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Man nennt dies auch eine Vollständigkeitsrelation (completeness relation) oder die dyadische Zerlegung des Identitätsoperators (resolution of the identity). Es folgt unmittelbar, dass jeder lineare Operator eine dyadische Zerlegung (Äußere-Produkt-Darstellung)

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mit den Matrixelementen Aij := 〈 i|A| j 〉 besitzt. Für den adjungierten Operator ergibt sich

(1.30) image

Über die Supremumsnorm image kann man einem linearen Operator A eine positive Zahl zuordnen

(1.31) image

Spur Die Spur (trace) ist eine sehr häufig gebrauchte komplexwertige Funktion eines linearen Operators:

(1.32) image

Die Spur eines Operators ist unabhängig von der Wahl der Basis. Der Beweis demonstriert die Nützlichkeit der dyadischen Zerlegung des Identitätsoperators. Seien { |li 〉} und { |mj 〉} beliebige ONB, dann gilt:

(1.33) image

In ähnlicher Weise beweist man mit Hilfe von die folgenden Eigenschaften der Spur:

image

Die physikalische Bezeichnung Erwartungswert (expectation value) von A wird später gerechtfertigt.

1.1.3 Normale Operatoren und spektrale Zerlegung

Unter den linearen Operatoren auf image spielen die diagonalisierbaren oder normalen Operatoren (normal operators) mathematisch und physikalisch eine herausragende Rolle. Ein Opera­tor N heißt diagonalisierbar, wenn es eine ONB { |i 〉} von image und komplexe Zahlen image gibt, so dass

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gilt. Dabei ist λi = 0 nicht ausgeschlossen. Als unmittelbare Folge ergibt sich, dass die Matrix von N in der ONB der Eigenvektoren diagonal ist

(1.36) image

und sich der Operator A in der Form der spektralen Zerlegung (spectral decomposition)

(1.37) image

schreiben lässt. Sie heißt auch orthogonale Zerlegung (orthogonal decomposition). Die ONB {| i 〉} von wird auch Eigenbasis (eigenbasis) von N genannt. Umgekehrt folgt aus jeder dieser Relationen direkt die Erfüllung der Diagonalisierbarkeitsbedingung .

Gehören zu einem Eigenwert λi des Eigenwertproblems g ≥ 2 linear unabhängige Eigenvektoren, so heißt λi g-fach entartet (degenerate). Jede Linearkombination dieser Eigenvektoren

(1.38) image

ist dann ebenfalls Eigenvektor zum Eigenwert a. Die Eigenvektoren spannen einen g-dimensionalen Unterraum image von image auf. Der Projektor

(1.39) image

projiziert in den Unterraum image.Der Projektor Q = 1 – P projiziert in das orthogonale Komplement von image.

Diagonalisierbarkeit ist keine trivialerweise vorliegende Eigenschaft. Bereits im zweidimensionalen Hilbert-Raum image gibt es vielfach gebrauchte Operatoren, die nicht diagonalisierbar sind. Ein Beispiel ist

(1.40) image

wie mit dem nachfolgenden Satz gezeigt werden kann.

Um zu erkennen, ob ein gegebener Operator ein normaler Operator ist, ist der folgende zentrale Satz sehr nützlich: Notwendig und hinreichend dafür, dass es für einen Operator N eine spektrale Zerlegung gibt – dass er also diagonalisierbar ist – ist das Verschwinden des Kommutators ([ A, B] _ := AB — BA) von N und N :

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Der Beweis kann als Anwendungsbeispiel für den bisher aufgebauten Formalismus dienen. Dass aus der Diagonalisierbarkeit die folgt, ist offensichtlich. Die andere Richtung des Beweises zerlegen wir in zwei Schritte:

1. Schritt: Jeder Operator in image hat zumindest einen Eigenwert λ und einen Eigenvektor |1〉, die sich mit Hilfe der Säkulargleichung ergeben.

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Daraus folgt

(1.43) image

und damit

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mit 〈1 |a 〉 = 0. Mit Normalitätsbedingung [ N, N] = 0 ergibt sich nach Auswertung mit und

(1.45) image

|a 〉 ist somit der Nullvektor |Null〉 und lässt sich folgendermaßen schreiben

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Wir kennen damit die Wirkung von N und N auf |1〉.

2. Schritt: Wir ergänzen |1〉 zu einer ONB { |i 〉} und führen mit Hilfe der dualen Schreibweise von N

(1.47) image

den Operator M ein:

(1.48) image

M ist die Einschränkung von N auf das orthogonale Komplement von |1〉.

Mit Hilfe von und können wir zeigen, dass auch M ein normaler Operator ist ([ M, M]= 0). Für ihn lässt sich auf dem zu |1〉 senkrechten Unterraum das gleiche Verfahren anwenden. Auch M hat einen Eigenvektor, den wir |2〉 nennen. Wir ergänzen |1〉 und |2〉 zu einer ONB und wiederholen die Prozedur. So fahren wir fort bis der ganze Hilbert-Raum ausgeschöpft ist und |1〉 zu einer wohlbestimmten ONB ergänzt wurde. Zugleich wird dadurch N bezüglich dieser Basis spektral zerlegt. Das schließt den Beweis ab.

Das Diagramm in demonstriert wie den verschiedenen Eigenschaften der Operatoren im Hilbert-Raum eine zunehmende Spezialisierung in der dyadischen Zerlegung entspricht. Wir werden im Folgenden im Diagramm Schritt für Schritt nach unten gehen.

Operatorenhierarchie. Charakterisierung von Operatoren durch ihre dyadische Zerlegung. ist jeweils die Richtung einer Spezialisierung. In den Klammern () werden die Eigenwerte charakterisiert. Man beachte, dass mit λi = {1 ,–1} spezielle hermitesche Operatoren auch unitär sein können und umgekehrt. Die bi-orthogonaleEntwicklung eines linearen Operators wird in Abschn. 13.3.3 abgeleitet.

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Funktionen von Operatoren Eine Operatorfunktion f(N) ist durch ihre Entwicklung in eine Potenzreihe definiert. Für einen normalen Operator N lässt sie sich in der dyadischen Zerlegung in einfacher Weise auf die Funktionen der Eigenwerte zurückführen.

(1.49) image

f(N) hat die gleichen Eigenvektoren wie N. Wir geben ein Beispiel, das in der Matrixdarstellung bezüglich der Basis der Eigenvektoren formuliert ist:

(1.50) image

(1.51) image

1.1.4 Hermitesche Operatoren

Wir folgen dem rechten Ast der Verzweigung in . Ein linearer Operator H heißt hermitesch (hermitian) oder selbstadjungiert (self-adjoint) auf image, wenn für ihn H = H gilt. Hermitesche Operatoren sind spezielle normale Operatoren. Wegen der folgenden Eigenschaften spielen sie in der Quantentheorie ein wichtige Rolle: Hermitesche Operatoren besitzen eine Spektralzerlegung mit einer ONB {|i〉}

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und reellen Eigenwerten ri. Bei Entartung können die Eigenvektoren orthonormal gewählt werden, sodass { |i 〉} eine ONB bildet. Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind or­thogonal. Dies wird oft als Spektraltheorem (spectral theorem) bezeichnet. Hermitesche Operatoren heißen auch Observable (observable). Der Grund für diese physikalische Bezeichnung wird später deutlich werden.

Aus folgt unmittelbar, dass für einen beliebigen Vektor | φ 〉 der Erwartungswert (expectation value) 〈 φ|H| φ 〉 reell ist. Es ist eine wichtige Kennzeichnung hermitescher Operatoren, dass auch die Umkehrung gilt: Der Erwartungswertφ|A| φist genau dannfür alle Vektoren reell, wenn A hermitesch ist.

Für den Beweis der Umkehrung nehmen wir an, dass für einen Operator A der Mittelwert 〈 χ|A|χ 〉für alle Vektoren |χ 〉 reell ist. Für irgend zwei Vektoren | φ 〉 und |ψ 〉 aus image gilt die Identität

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Wenn wir in diesem Ausdruck | φ 〉 und |ψ 〉 vertauschen, dann geht der Teil {...} in sich über und der Teil [...] wird mit (1) multipliziert. Berücksichtigen wir noch, dass alle Erwar-tungswerte reell sind, so folgt daraus 〈 ψ|A φ=φ|Aψ* =Aψ| φ. Der Operator A ist also hermitesch. Es ist bemerkenswert, dass in rechts nur Erwartungswerte und links ein Übergangsmatrixelement stehen. Wenn für einen hermiteschen Operator alle Erwartungswer­te bekannt sind, sind auch alle Übergangsmatrixelemente bekannt.

Kommutierende hermitesche Operatoren Für sie gilt der Satz (o.B.) über die simultane Diagonalisierbarkeit: Zwei hermitesche Operatoren (Observablen) A und B sind genau dann vertauschbar ([A, B]_ = 0), wenn sie eine gemeinsame ONB {|i〉} aus Eigenvektoren besit­zen.

Ist der Eigenwert a einer Observablen A entartet, so bilden die Eigenvektoren einen mindestens zweidimensionalen Unterraum. Mit Angabe von a ist daher kein zugehöriger Eigenvektor eindeutig charakterisiert. Wenn wir im Unterraum nur solche Eigenvektoren von A betrachten, die zugleich Eigenvektoren einer Observablen B zum Eigenwert b sind (Schnittmenge), könnte ein gemeinsamer Eigenvektor durch diese Zusatzforderung bereits eindeutig festgelegt sein. Wir bezeichnen ihn mit |a, b 〉:

(1.54) image

Sollte wiederum dadurch nur ein Unterraum festgelegt sein, dann werden wir fortfahren und verlangen, dass ein Eigenvektor von A und B zugleich Eigenvektor von einer mit A und B vertauschbaren Observablen C ist: |a, b, c 〉 Das Verfahren muß bis zur Aufhebung aller Entar­tung fortgesetzt werden. Man nennt einen Satz von Observablen, die genau ein gemeinsames System von Eigenvektoren besitzen, ein vollständiges System kommutierender Observabler.

Durch Angabe der Eigenwerte zu allen Operatoren ist genau ein Vektor festgelegt. Wichtig ist, dass das oben beschriebene Verfahren auch tatsächlich abbricht. Dies garantiert der Satz: Auf jedem Hilbert-Raum image existiert eine endliche(!) vollständige Menge paarweise kommutierender Operatoren (Funktionen von Operatoren nicht berücksichtigt). Zum Beweis verweisen wir auf die Literatur (vergl. Abschn. 1.4)

1.1.5 Unitäre Operatoren

Wir folgen zunächst dem linken Ast der Verzweigung der Operatorhierarchie in und kehren danach zum rechten Ast zurück. Ein linearer Operator U heißt unitär (unitary), wenn U = U–1 gilt. Unitäre Operatoren sind spezielle normale Operatoren. Sie besitzen daher eine Spektralzerlegung

(1.55) image

mit einer ONB {|i〉} , wobei aufgrundder definierenden Gleichung die Eigenwerte reine „Phasenterme“ sind. Wie bei hermiteschen Operatoren spannen die Eigenvektoren den ganzen Raum auf. Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal. Eigenvektoren zu entarteten Eigenwerten können orthogonal gewählt werden. Man zeigt leicht: Ein linearer Operator ist genau dann unitär, wenn jede seiner Matrixdarstellungen unitär ist.

Aus der Spektralzerlegung folgt unmittelbar die Unitarität von U(t) = eiHt,image, falls H hermitesch ist. Weiterhin gilt in diesem Fall:

(1.56) image

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Unitäräquivalenz und Normerhaltung Unter kombinierten unitären Transformationen von Vektoren und Operatoren gemäß

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bleiben Skalarprodukte (speziell auch die Norm eines Vektors), Eigenwerte und Erwartungswerte unverändert. Umgekehrt ist ein linearer Operator T, der bei Anwendung auf beliebige Vektoren aus image die Norm erhält

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ein unitärer Operator: T = T –1. Zum Beweis verwenden wir die und formen mit um. Für T gilt die Unitaritätsrelation

(1.60) image

1.1.6 Positive Operatoren und Projektionsoperatoren

Wir wollen noch Spezialfälle hermitescher Operatoren diskutieren. Ein positiver Operator ist dadurch definiert, dass für einen beliebigen Vektor | φ 〉 die Ungleichung

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gilt, dass also sein Erwartungswert stets reell und nicht negativ ist. Wir schreiben dann

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Weiterhin erklären wir

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Aus der Positivität folgt für die Spektralzerlegung: Jeder positive Operator A ist hermitesch A = A. Er besitzt die Spektralzerlegung

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mit nicht-negativen Eigenwerten.

Für einen beliebigen Operator A ist A A ein positiver Operator. Andererseits gibt es für jeden positiven Operator A einen linearen Operator B, so dass A sich in der Form

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schreiben lässt. B ist nur bis auf unitäre Transformationen festgelegt (B UB). Wir finden B explizit über die Spektralzerlegung von A und eine ONB {| φi 〉}

(1.66) image

Einsetzen betätigt .

Ein linearer Operator P ist ein Projektionsoperator (projection operator) (genauer: orthogonaler Projektionsoperator), wenn er die folgenden Bedingungen erfüllt:

(i) P2 = P idempotent.

(ii) P = P hermitesch.

: „Schnittmengen“ der Operatortypen

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Aus dieser Eigenschaft folgt

(1.67) image

P ist daher ein positiver Operator und es gilt

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mit der ONB { |i 〉} . Wegen der Idempotenz (i) haben wir weiterhin

(1.69) image

und damit p2i = pi beziehungsweise pi ∈ {0 ,1}. Der Projektionsoperator P nimmt deshalb die Form

(1.70) image

an. P projiziert auf den durch { | j 〉} mit jI aufgespannten Unterraum.

In Ergänzung zu sind in im Rückblick die „Schnittmengen“ der verschiedenen Operatortypen dargestellt.

1.2 Liouville-Raum der Operatoren

Wir werden in Kap. 2 sehen, dass sich im Spezialfall der reinen Zustände quantentheoretische Systeme durch normierte Vektoren |ψ 〉 in einem Hilbert-Raum image beschreiben lassen. Im allgemeinen Fall der gemischten Quantenzustände erfolgt die Beschreibung über den Dichteoperator (Kap. 4). Alle möglichen dynamischen Zustandsänderungen können als lineare Transformationen von Übergängen zwischen Dichteoperatoren beschrieben werden (Schrödinger Bild). Wir werden das ganz allgemein in Kap. 14 diskutieren. Im Hinblick darauf ist es zweckmäßig den Liouville-Raum image als den Raum der auf dem Hilbert-Raum wirkenden linearen Operatoren einzuführen. Wir können die Darstellung knapp halten, da im Wesentlichen die Vorgehensweise aus Abschn. 1.1 wiederholt wird.

1.2.1 Skalarprodukt

Der Liouville-Raum image ist ein linearer Vektorraum über dem Körper der komplexen Zahlen, dessen Elemente |A) , |B) ,... die linearen Operatoren A,B,... auf einem Hilbert-Raum sind. Man prüft leicht nach, dass diese linearen Operatoren tatsächlich die Axiome eines linearen Vektorraums erfüllen. Wir werden die Klammern |) später zur Vereinfachung der Schreibweise weglassen.

Die dyadische Zerlegung eines Operators A nach der Basis { |i 〉} von image hat in der neuen Schreibweise die Form

(1.71) image

Die d2 Dyaden |i 〉 〈 j| in image bilden die d2 Elemente | |i 〉〉 j|) einer Basis in image. Für die Dimensionen der Räume gilt daher

(1.72) image

Selbstverständlich gibt es neben den Dyaden andere Basen in image. Wir können den Liouville-Raum image mit einem Skalarprodukt (A|B) ausstatten. Es hat formal dieselben Eigenschaften wie das Skalarprodukt im Hilbert-Raum image(vergl. Abschn. 1.1.1). (A|B) ist eine komplexe Zahl und es gilt

(1.73) image

Operatorbasis Zwei Operatoren A und B heißen orthogonal, wenn

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erfüllt ist, ohne dass einer der Operatoren der Nulloperator ist. Es gelten die Dreiecksungleichung und die zur Parallelogrammungleichung analogen Gleichungen. Jeder Operator | A) lässt sich nach einer orthonormalen Basis {| Qs) , s = 1 ,..., d2} von image

(1.75) image

zerlegen:

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Skalarprodukt als Spur Skalarprodukte auf image können in ganz verschiedener Weise realisiert werden. Wir werden das über die Spur in image gebildete Skalarprodukt verwenden, da in diesem Fall die für die einfachsten Quantensysteme wichtigen Paulischen Spinoperatoren zu einer Basis ergänzt werden können (vergl. Abschn. 3.1)

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Die Zerlegung nimmt dann bei weggelassenen Vektorklammern die Form

(1.78) image

an. Die aus den Dyaden |i 〉 〈 j|, i,j = 1,...,d gebildete Basis des Liouville-Raums ist bei Bezug auf das Spur-Skalarprodukt orthonormal

(1.79) image

1.2.2 Superoperatoren

Wie zu vermuten ist, lassen sich auf einem Liouville-Raum selber wiederum lineare Operatoren definieren, die Elemente aufeinander abbilden:

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Diese kursiv geschriebenen Operatoren heißen Superoperatoren (superoperators). Aus der Sicht des Hilbert-Raums image bilden sie lineare Operatoren in linearer Weise aufeinander ab

(1.81) image

Beispiele Wir geben zwei Beispiele für Superoperatoren an: Beim Superoperator A

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folgt die Linearität aus der Linearität von A. Man sieht leicht, dass

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gilt. Ein für die Beschreibung der dynamischen Entwicklung von gemischten Zuständen wichtiger Superoperator (vergl. Kap. 4) ist der Liouville-Operator (Liouvillian) image

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([ H, A] := HAAH ). In der physikalischen Anwendung ist H dabei der Hamilton-Operator. Die Potenz von image schreibt sich

(1.85) image

Vom Hilbert-Raum lassen sich direkt die Konzepte des adjungierten, hermiteschen, unitären und positiven Superoperators übertragen.

1.3 Elemente der Wahrscheinlichkeitstheorie

Die zentrale Aufgabe der Quantentheorie ist es, Vorhersagen über die Wahrscheinlichkeiten des Eintreffens von Messergebnissen zu machen. Dabei wird vorausgesetzt, dass Informationen über den Zustand des Quantenobjekts vorliegen, an dem gemessen wird. Im Hinblick auf diese Aufgabe ist es sinnvoll die Grundkonzepte der Wahrscheinlichkeitstheorie kurz darzustellen.

Vorhersagen sind ein Schluss von der Vergangenheit auf die Zukunft. In der klassischen Physik spielt die umgekehrte Schlussrichtung eine vergleichbar wichtige Rolle. Aus den Messergebnissen wird auf den Zustand des Objekts vor der Messung zurück geschlossen. In welchem Umfang ist das auch für Quantensysteme möglich? Bei der Diskussion dieser Frage spielt der Satz von Bayes eine wichtige Rolle. Wir skizzieren seinen Beweis nachdem wir Vorüberlegungen zur bedingten Wahrscheinlichkeit angestellt haben.

1.3.1 Wahrscheinlichkeit zufälliger Ereignisse

Bei der Wiederholung eines Zufallsexperiments liegt das Ergebnis nicht vorher fest. Es ist ein zufälliges Ereignis (random event). Solche Ereignisse können beim Werfen eines Würfels z. B. das Auftreten einer geraden (bzw. ungeraden) Augenzahl oder das Auftreten einer Augenzahl größer als 2 sein. Sei { Ai ; i = 1,..., n} die Menge der möglichen Ereignisse. Es werden folgende Bezeichnungen in Analogie zur Mengenlehre eingeführt:

AiAj Ak ist das Ereignis das darin besteht, dass die Ereignisse Ai, Aj und Ak zusammen (gleichzeitig) auftreten. Beim Werfen eines Würfels kann A1 z. B. das Ereignis „gerade Augenzahl“ und A2 das Ereignis „Augenzahl > 4“ sein, dann ist A1 A2 das Ereignis „Es fällt die Sechs“. p(A1 A2 ) ist die Wahrscheinlichkeit, dass sowohl A1 als auch A2 eintritt (Verbundwahrscheinlichkeit, joint probability). Wir schreiben auch p(A1 , A2 ) := p(A1 ∩A2 ).

AiAjAk ist das Ereignis das im Auftreten wenigstens eines der Ereignisse Ai, Aj und Ak besteht. Für die Augenzahl Z möge 2 ≤ Z 4 das Ereignis A1 und 3 ≤ Z 5 das Ereignis A2 bedeuten. Dann ist A1A2 das Ereignis 2 ≤ Z 5.

Das unmögliche Ereignis wird mit Ø und das sichere mit Ω bezeichnet. Zwei Ereignisse Ai und Aj heißen unvereinbar (exclusive events), wenn AiAj = Ø gilt. Sie können nicht gleichzeitig eintreten.

Axiomatik Jedem zufälligen Ereignis A wird eine reelle Zahl p(A) mit 0 ≤ p(A) 1 zugeordnet, die die Wahrscheinlichkeit (probability) von A genannt wird und eine Reihe von Axiomen erfüllt, die wir hier nicht aufführen wollen. Ein Beispiel ist die Kolmogorov-Axiomatik. Wir notieren nur das Additivitätsaxiom: Für paarweise unvereinbare zufällige Er­eignisse A1 , A2 ,..., An gilt

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Wenn die Ereignisse A1 und A2 vereinbar sind, gilt

(1.87) image

Das Mengendiagramm von veranschaulicht diese Relation. Beim Würfeln möge Z 2 das Ereignis A1 und Z 4 das Ereignis A2 sein, dann ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass entweder A1 oder A2 eintritt p(A1A2) = 2/6 + 3/6 = 5/6.

Häufigkeitsinterpretation Wir haben uns zur Veranschaulichung des Axioms auf das Werfen eines Würfels bezogen. Tatsächlich erfordert die Axiomatik wie jede mathematische Axio­matik keine physikalische Interpretation. p(A) ist durch die Axiome selber festgelegt. Bei der Anwendung auf physikalische Ereignisse wird Wahrscheinlichkeit üblicherweise als Grenzwert der relativen Häufigkeit (relative frequency) interpretiert:

(1.88) image

Dabei ist N(A) die absolute Häufigkeit des Auftretens von A bei einer Gesamtzahl N von Versuchen. Diese physikalische Interpretation ist nicht unproblematisch. Für endliche große N kann sie als Schätzung von p(A) aufgefasst werden.

: Mengendiagramm der Wahrscheinlichkeiten.

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1.3.2 Bedingte Wahrscheinlichkeit und Satz von Bayes

Wir erweitern das Konzept der Wahrscheinlichkeit, Die bedingte Wahrscheinlichkeit (condi­tional probability) p(A|B) eines Ereignisses A ist die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von A unter der Bedingung, dass ein anderes Ereignis B, das selber die Wahrscheinlichkeit p(B) hat, bereits eingetreten ist. Wir definieren:

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Auflösung führt auf die plausible Gleichung für die Wahrscheinlichkeit p(A ∩ B) dafür, dass sowohl A als auch B eintritt:

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Wir schreiben in späteren Kapiteln

(1.91) image

Als Beispiel betrachten wir zwei Urnen. Die Urne U1 enthält 3 weiße und 3 schwarze Kugeln, die Urne U2 2 weiße und 4 schwarze Kugeln. In jede der Urnen wird mit gleicher Wahrscheinlichkeit p(U1) = p(U2) = 1/2 gegriffen. Die Wahrscheinlichkeit gezogen zu werden ist für jede Kugel einheitlich 1/12. Die Wahrscheinlichkeit sowohl in U1 zu greifen als auch eine weiße Kugel zu ziehen ist p(wU1) = 3/12 = 1/4. Die bedingte Wahrscheinlichkeit p(w |U1 ) nachdem man in eine Urne U1 gegriffen hat eine weiße Kugel zu ziehen ist nach

(1.92) image

Das folgt auch anschaulich unmittelbar aus der Beschreibung der Zufallssituation. Analog findet man p(w|U2) = 1/3.

Unabhängigkeit Zwei zufällige Ereignisse A und B heißen voneinander unabhängig, wenn durch das Eintreten des einen das Eintreten des anderen nicht beeinflusst wird

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In diesem Fall faktorisiert p(A ∩ B)

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Hiervon ist zu unterscheiden, dass die Ereignisse A und B unvereinbar (einander widersprechend) sind AB = Ø . Dann gilt p(A|B) = 0.

Totale Wahrscheinlichkeit Das sichere Ereignis Ω möge sich als Summe von n paarweise unvereinbaren zufälligen Ereignissen Ai darstellen lassen (AiAj = Ø , ∀ij):

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Für ein beliebiges zufälliges Ereignis B gilt dann B = (A1 ∩B)∪(A2 ∩B)∪ . . .∪(An∩B). Mit dem Additivitätsaxiom folgt daraus

(1.96) image

und mit ergibt sich der Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit

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Wir geben ein Beispiel im nächsten Abschnitt.

Satz von Bayes Mit p(A ∩ B) = p(B ∩ A) führt die auf

(1.98) image

Unter der Voraussetzung, dass die paarweise Unvereinbarkeit und Vollständigkeit erfüllt ist, gewinnen wir daraus mit den fundamentalen Satz von Bayes (Bayes’s theorem)

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Der Nenner garantiert die Normierung ∑ ip(Ai |B) = 1, die besagt, dass irgendeines der Ereignisse Ai eintreten muß.

Der Satz von Bayes hat folgende Bedeutung: Es seien in einer Situation die Wahrschein­lichkeit p(Ai) und die bedingten Wahrscheinlichkeiten p(B |Ai) bekannt. Dann erlaubt die Formel die Berechnung der Wahrscheinlichkeit p(Ai |B) dafür, dass in einem Zufallsexperiment unter der Voraussetzung „B ist eingetreten“ die Bedingung Ai erfüllt war (bzw. ist).

Wir geben ein Beispiel an, dass sich wieder auf das Ziehen von Kugeln aus Urnen bezieht. Es mögen drei Urnen von Typ I mit jeweils 2 weißen und 6 schwarzen Kugeln vorliegen und eine Urne vom Typ II mit 1 weißen und 7 schwarzen Kugeln. Mit gleicher Wahrscheinlichkeit wird in eine der Urnen gegriffen und eine Kugel gezogen. Das Ereignis B ist das Ziehen einer weißen Kugel. Das Ereignis A1 ist das Greifen in eine Urne vom Typ I (bzw. Typ II). Dann liegen die folgenden Wahrscheinlichkeiten vor: p(A1) = 3/4, p(A2) = 1/4, p(B|A1) = 1/4, p(B|A2) = 1/8. Die Wahrscheinlichkeit, dass die gezogene weiße Kugel aus einer Urne von Typ I stammt, ist nach dem Satz von Bayes p(A1|B) = 6/7 = 0, 86 und daher größer als p(A1 ). Aus der Urne vom Typ II stammt die weiße Kugel mit der Wahrscheinlichkeit p(A2|B) = 1/7 = 0, 14, die kleiner als p(A2 ) ist. Die Wahl eines Urnentyps erfolgt mit den a-priori-Wahrscheinlichkeiten p(Ai). Wenn eine weiße Kugel gezogen wurde, kann man darauf rückschließen, in welche Urne gegriffen wurde. Für diesen Rückschluss gibt es i.a. wiederum nur eine Wahrscheinlichkeitsaussage, die durch p(Ai| B) gegeben ist. Würde die Urne vom Typ II keine weiße Kugel enthalten, könnte mit Sicherheit (p(Ai |B) = 1) der Rückschluss gemacht werden, dass in eine Urne vom Typ I gegriffen wurde.

Annahme von Bayes Sie sollte nicht mit dem Satz von Bayes verwechselt werden. Wenn es keinen Anlass zur Vermutung gibt, dass ein Ereignis Ai durch die Situation ausgezeichnet ist, kann es sinnvoll sein, die Bayessche Annahme zu machen, dass alle a-priori-Wahrscheinlichkeiten übereinstimmen

(1.100) image

Nach dem Eintreten von B wird dann diese Annahme durch die Wahrscheinlichkeiten p(Ai |B) von ersetzt. So lassen sich die Wahrscheinlichkeiten schätzen.

1.3.3 Zufallsgrößen

Eine Zufallsgröße X ist durch die Zuordnung von Zahlen x zu den zufälligen Ereignissen gegeben. Würfe eines Würfels sind ein Beispiel. Eine diskrete zufällige Größe X ist bestimmt durch die Werte x1 , x2 ,..., xn und die Wahrscheinlichkeiten p(x1 ),p(x2 ),... ,p(xn), mit denen die Werte angenommen werden image. Die Verallgemeinerung auf abzählbar unendlich viele Werte xi und auf stetige x ist i.a. unproblematisch.

Wichtige Größen zur Charakterisierung einer Zufallsgröße X sind Erwartungswert (expectation value) oder Mittelwert (mean value)

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und die Streuung (dispersion) oder mittlere quadratische Abweichung (mean square deviation)

(1.102) image

die auch Varianz (variance) genannt wird. Die Standardabweichung (standard deviation) image gibt an, wie sehr eine Zufallsvariable um ihren Mittelwert streut. In der Quantentheorie wird Δ(X) auch als die Unbestimmtheit (uncertainty) von X bezeichnet.

1.4 Ergänzende Themen und weiterführende Literatur

  • Die meisten Lehrbücher der Quantentheorie enthalten eine Darstellung der mathematischen Grundlagen. Auf folgende Bücher sei besonders hingewiesen: [Sak 85], [CDL 91], [Ish 95], [Bal 98], [Gri 02].
  • Eine ausführliche Darstellung des Hilbert-Raums mit Bezug auf die Quantentheorie findet sich in [Jor 69].
  • Bra-Raum als Vektorraum aller linearen stetigen Funktionale auf einem Vektorraum V (auch Dualraum V* genannt): [FK 98, Kap. 2.8 und 4.2].
  • Literatursammlung zu 1.3: [Per 93, z.B. 53], [Ish 95], [NC 00].

1.5 Übungsaufgaben

ÜA 1.1 [zu 1.1] Beweisen Sie die Relationen , , , , , , , .

ÜA 1.2 [zu 1.1] Geben Sie mehrere Beispiele für eine Basis im image an.

ÜA 1.3 [zu 1.1] { |i,i = 1 , . . . ,d} sei eine ONB. Beweisen Sie, dass die Parsevalsche Identität

(1.103) image

für alle Vektoren image gilt.

ÜA 1.4 [zu 1.1] Zeigen Sie, dass die Matrix, die dem Operatorprodukt AB entspricht, gleich dem Produkt der Matrizen zu A und B ist.

ÜA 1.5 [zu 1.1] Zeigen Sie, dass die Determinante einer unitären Matrix ± 1 ist.

ÜA 1.6 [zu 1.1] Zeigen Sie, dass für zwei unitäre n×n Matrizen U1 und U2 auch die Matrix image unitär ist.

ÜA 1.7 [zu 1.1] Besitzt der Projektionsoperator P = |u 〉 〈 u| ein Inverses?

ÜA 1.8 [zu 1.1]

a) Der Operator A sei diagonalisierbar. Wie findet man seine Spektraldarstellung?
b) Sind die Pauli-Operatoren σx = |0〉 〈1| + |1〉 〈0 |, σy = –i|0〉 〈1| + i|1〉 〈0 |, σz = |0〉 〈0 | 1〉 〈1 | diagonalisierbar? Finden Sie ihre Spektraldarstellung.

ÜA 1.9 [zu 1.2] Bestätigen Sie für den in definierten Superoperator A die Relation

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gilt.

ÜA 1.10 [zu 1.2] H sei ein hermitescher Operator mit Eigenwertgleichung

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Bestimmen Sie Eigenvektoren und Eigenwerte des Liouville-Operators image von .

ÜA 1.11 [zu 1.2] Zeigen Sie, dass der Liouville-Operator von die Matrixdarstellung

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hat.

ÜA 1.12 [zu 1.2] Beweisen Sie mit Bezug auf die Definition des Liouville-Operators image die Relation

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ÜA 1.13 [zu 1.2] Geben Sie Situationen an, mit deren Hilfe die bedingte Wahrscheinlichkeit, der Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit oder der Satz von Bayes veranschaulicht werden können.

Nach Dirac wird das Skalarprodukt 〈 φ| ψ 〉geschrieben und „bracket“ genannt. Die Bestandteile „bra“〈 φ| und „ket“| ψ 〉 haben eine eigenständige Bedeutung

2

Grundkonzepte der Quantentheorie

2.1 Erste Fassung der Postulate (reine Zustände abgeschlossener Quantensysteme)

2.1.1 Das Szenario der Quantentheorie

Wenn man die Quantentheorie auf konzeptionell weniger vertraute Situationen anwenden will, wie sie im Zusammenhang mit zusammengesetzten Systemen auftreten, dann ist es nützlich, sich zunächst noch einmal an die Grundstrukturen der Quantentheorie zu erinnern. Dazu soll das Kapitel 2 dienen.

Wir machen die physikalische Generalvoraussetzung, dass wir nur Vorgänge untersuchen, die keine relativistische Beschreibung benötigen und die auf einem endlich-dimensionalen Hilbert-Raum formuliert werden können.

Doppelspaltexperiment Die charakteristischen Züge der Quantenphysik werden deutlich, wenn man sie mit denen der klassischen Physik vergleicht. Hierzu betrachtet man zwei analoge physikalische Situationen. In einem Fall kann die Situation im Rahmen der klassischen Physik beschrieben werden, im anderen Fall ist eine quantentheoretische Beschreibung erforderlich. Das Doppelspaltexperiment ist hierfür ein gerne diskutiertes konkretes Beispiel, an dem man viele Elemente der Quantentheorie ablesen kann. Wir besprechen das Experiment daher ausführlich. Die Ergebnisse sollen die Einführung der Postulate in Abschn. 2.1.2 und der Konzepte in Kap. 4 vorbereiten. Verschränkung werden wir später an anderen Experimenten veranschaulichen und damit das Szenario der Quantentheorie noch erweitern.

Wir beschreiben zunächst die experimentelle Situation bei einem Doppelspalt mit den Spaltöffnungen 1 und 2. Vor dem Spalt, d. h. links in der befindet sich ein Apparat für das Schießen von kleinen Kugeln, den wir durch den Wurf einer Münze steuern. Je nachdem wie die Münze fällt, schießt der Apparat durch Spalt 1 oder durch Spalt 2. Dabei soll über die jeweilige Spaltöffnung hin eine gleichmäßige Streuung der Durchschussorte gegeben sein. Hinter dem Doppelspalt wird ein Schirm aufgestellt, auf dem die Einschlagorte der Kugeln registriert werden. Wir diskutieren die Fälle, in denen nur einer der beiden Spalte offen ist (der andere ist abgedeckt), und den Fall, dass beide Spalte offen sind. Wir tragen in allen drei Fällen die relative Häufigkeit der Auftreffer auf dem Schirm als Funktion des Ortes auf. Je häufiger geschossen wird, umso klarer zeigen die relativen Häufigkeiten, wenn nur ein Spalt offen ist, die in angegebene räumliche Verteilung. Sie gibt im Grenzfall vieler Schüsse die Wahrscheinlichkeit P(x) für das Auftreffen der Kugeln wieder. Wenn Spalt 1 abgedeckt wird, finden wir eine entsprechende Verteilung hinter Spalt 2. Es ist eine Alltagserfahrung, dass sich bei Öffnen beider Spalte die mit dem Faktor 1/2 multiplizierten Auftreffwahrscheinlichkeiten der Einzelspalte addieren.

In dem analogen quantenphysikalischen Experiment wird der Schussapparat durch eine Apparatur ersetzt, die einen Atomofen enthält. Man findet geeignete Apparaturen und passend präparierte Schirme, so dass Folgendes gilt: Wenn man den Schirm, ohne dass ein Doppelspalt vorhanden ist, hinter der Apparatur aufbaut, dann werden nacheinander regellos über den Schirm verteilt einzelne Treffer registriert. Wenn man lange genug wartet, entsteht eine homogene Verteilung der Auftreffpunkte. Da die Treffer zeitlich getrennte Einzelereignisse sind, wollen wir damit die Vorstellung verbinden, dass ein einzelnes Objekt, das wir schon Atom genannt haben, den Ofen verlassen hat und auf dem Schirm aufgeschlagen ist. Über ein Atom zwischen Ofen und Schirm können wir keine Aussage machen. Sodann schieben wir einen geeignet dimensionierten Doppelspalt zwischen Ofen und Schirm ein und schließen wieder zum Beispiel Spalt 2. Dann messen wir im Grenzfall sehr vieler Aufschläge für die relative Häufigkeit (und damit für die Auftreffwahrscheinlichkeit P(x)) die räumliche Vertei­lung von . Ihr Maximum liegt gegenüber der Spaltöffnung. Wenn Spalt 1 geschlossen ist, finden wir eine entsprechend verschobene Kurve gegenüber dem offenen Spalt. Wenn wir allerdings für Atome beide Spalte öffnen, ergibt sich die in dargestellte Verteilung der relativen Häufigkeiten, die ihr Maximum gerade hinter dem Steg zwischen den beiden Spalten hat. Wieder ist der Grenzfall sehr vieler Aufschläge eingezeichnet. Wie bei den Kugeln ändert sich eine Wiederholung des Experimentes die Reihenfolge der Orte der einzelnen Einschläge in völlig zufälliger Weise (vergl. ). Nur im Grenzfall sehr vieler Einschläge ergibt sich in deterministischer Weise immer dieselbe Häufigkeitsverteilung.

Als wesentliches Ergebnis halten wir fest: Für Atome erhalten wir die Wahrscheinlichkeitsverteilung beim Doppelspalt – anders als bei Kugeln – nicht durch Addition der Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Einzelspalte. Es ist ein Interferenzbild entstanden, wie wir es von der Optik her kennen, das nicht dadurch erklärt werden kann, dass wir den Atomen Bahnen zuordnen, wie wir das für die einzelnen Kugeln tun konnten. Wegen der verblüffenden Analogie zur optischen Beugung können wir vermuten, dass die mathematische Berechnung der Wahrscheinlichkeitsverteilung beim Doppelspalt in ähnlicher Weise das Phänomen der Interferenz durch Überlagerung wiederspiegeln wird.