Einleitung

Schön, dass Sie sich für die lineare Algebra interessieren. Lassen Sie mich Ihnen kurz die Spielregeln erläutern, damit Sie wissen, worauf Sie sich einlassen. Keine Angst – ich bin auf Ihrer Seite!

Was Sie schon immer über lineare Algebra wissen wollten

Sie können lineare Gleichungssysteme lösen? Auch wenn es mehr als zwei, drei oder vier Unbekannte oder Gleichungen sind? Nicht ganz so gut? Ich zeige Ihnen hier, wie Sie systematisch an einen Lösungsalgorithmus herangehen können. Ich erkläre Ihnen, warum Sie kein lineares Gleichungssystem aufstellen können, das genau zwei, drei oder zehn Lösungen hat. Darüber hinaus trainiere ich mit Ihnen das geometrische Verständnis in Bezug auf die Lösungsmengen von solchen Gleichungssystemen. Dazu führe ich lineare Abbildungen und Matrizen ein und zeige Ihnen, was diese mit Gleichungssystemen zu tun haben und wie Sie mit diesen rechnen können. Seien Sie gespannt!

Meine Leser

Das Buch führt in die lineare Algebra ein. Dies ist ein Teilgebiet der Mathematik, das so grundlegend ist, dass es Stoff fast jedes Studiums mit mathematischen Bereichen ist, sei es im Bachelorstudium des Faches Mathematik selbst oder in Kursen für Mathematiklehrämtler, aber eben auch in den Studienkursen für Ingenieure, Naturwissenschaftler, Wirtschafts- und Geowissenschaftler, Ernährungs- und Lebensmittelwissenschaftler und viele andere mehr. Das Buch bietet keine Nachhilfestunde für einführende Kurse in der Schule. Es holt sie inhaltlich auf dem Stand des Schulwissens ab und hilft Ihnen, die ersten Semester Ihres Mathematikanteils zu überleben.

Die typische potentielle Leserin ist also Studentin in einem solchen, gerade beschriebenen Studiengang. Das Lesen dieses Buches möge Ihnen trotz kommender Schweißtropfen Spaß bereiten. Vielleicht möchten Sie Ihr Wissen in linearer Algebra auffrischen? Vielleicht möchten Sie als Vorgeschmack in diese Themen hineinschnuppern? Die Hauptsache ist, dass Sie motiviert und mit Spaß an das Buch herangehen.

Glauben Sie mir, es wird Übungsaufgaben geben, an denen Sie kurzzeitig fast verzweifeln werden. Frustrierend wird es sein. Sehr gut, dann sind Sie gerade dabei, etwas zu verstehen. Nur weiter so und durchhalten! Schaffen Sie es, dann belohnen Sie sich mit dem mathematischen Durchbruch ganz alleine. So lernt man Mathematik, eben auch die lineare Algebra. Dann macht es auch Spaß und Sie möchten weiterlesen. Dürfen Sie sehr gern, also los!

Ziel des Buches

Ich zeige Ihnen im Wesentlichen, was lineare Gleichungssysteme sind und wie Sie mit ihnen umgehen können. Das wissen Sie schon? Täuschen Sie sich nicht. Ich sehe fast jedes Semester diesen Blick von einigen Teilnehmern meiner Vorlesung in ihrer ersten Woche. Doch dieser ändert sich bereits nach ein paar Wochen. Aufgabe der Mathematik ist es, möglichst nicht für jedes Problem das Rad neu zu erfinden. Dazu müssen Sie möglichst allgemein an die Fragestellung herangehen, um mit einer Antwort gleich viele Probleme gleichzeitig zu lösen. Das strengt an. So sprechen wir natürlich nicht über Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten in zwei Gleichungen, sondern mit n Unbekannten in m Gleichungen. Da sind dann sofort mal Lösungsansätze für Systeme mit 25 Unbekannten und Gleichungen gefragt oder gar für Systeme mit 10.000 Unbekannten und Gleichungen, die in der Praxis dann erst interessant werden.

Um solche Systeme zu verarbeiten, müssen Sie sich anschnallen und bereit sein, sich auf die dahinterstehende Mathematik einzulassen. Ich führe neue Begriffe ein wie lineare Abbildungen und abstrakte Schemata wie Matrizen, die Sie teilweise vielleicht schon früher gesehen haben, die nun aber in neuem Glanz erscheinen werden. Mit unserem Blickwinkel werden Sie zwischen solchen Abbildungen, den Matrizen und dazugehörigen Gleichungssystemen kaum noch unterscheiden und je nachdem, was Ihnen gerade besser liegt, Methoden aus der einen Welt bei Probleme aus der anderen anwenden. Das lernen Sie hier. Und das ist echte Mathematik.

Nötiges Vorwissen

Ich setze in diesem Buch nicht viel heraus. Das Buch soll Sie in die Welt der linearen Algebra einführen. Ich starte in seichten Gewässern und wiederhole in den ersten zwei Kapiteln mathematisches Grundwissen, welches Sie für die lineare Algebra benötigen. Eine gewisse Grundvertrautheit mit Mathematik sollten Sie allerdings mitbringen. Sie sollten keine Angst vor mathematischen Grundbegriffen haben, wohl aber den nötigen Respekt, um nach Hintergründen zu fragen. Glauben Sie nicht an mathematische Aussagen, fragen Sie nach Beweisen!

Jenseits dieses Buches

Sollten Ihnen diese Themen Freude bereiten, dann können Sie sich dem zweiten Teil dieses Buches, dem Schnellkurs Lineare Algebra 2, tiefer in die lineare Algebra einsteigen. Dort sprechen wir über Koordinatentransformationen, Eigenwerte, das Diagonalisieren und Skalarprodukte. Einen ausführlichen Ausblick in diese fortgeschrittenen Themen gehe ich am Ende dieses Buches ein.

Was bedeutet was

Der Text ist (relativ) leicht lesbar geschrieben. Die mathematischen Inhalte habe ich in kleine Häppchen verpackt, so dass sie (fast) leicht verdaulich sind. Neue Begriffe habe ich zur besseren Sichtbarkeit in Fettdruck gesetzt. Die kursiven Worte sollen bestimmte Passagen in eine von mir gewünschte Richtung lenken.

Tipp

Hier erhalten Sie Tipps, manchmal Eselsbrücken und eben nützliche Aussagen zum jeweiligen Thema. Manchmal sind es auch einfach nur hilfreiche Aussagen, die ich Ihnen nicht vorenthalten möchte, aber dennoch nicht weiter begründen werde.

Satz

Unter einem Satz versteht der Mathematiker eine mathematische Aussage oder Formel, die Ihnen ihre Anwendung das Leben einfacher gestaltet. Es werden Zusammenhänge zwischen Begriffen geklärt oder Behauptungen aufgestellt. Solche Aussagen verlangen einen Nachweis, einen so genannten mathematischen Beweis, den ich Ihnen auch nach dem Satz gebe. Ein solcher Beweis wird mit dem Endesymbol abgeschlossen.

Definition

Bei diesen Passagen müssen Sie sich besonders konzentrieren. Hier verstecken sich Begriffe, die geklärt werden müssen oder manchmal einfach nur falsch verstanden werden könnten. Eine solche Begriffsklärung und -festlegung ist für das weitere Verständnis wichtig.

Beispiel

In diesem Buch wird es viele Beispiele und Anwendungen der Theorie geben. Manchmal sind sie scheinbar immer noch theoretischer Art, manchmal vollkommen aus der Praxis genommen. Rechnungen hinter diesem Symbol sind in der Regel besondere Beispiele, die Ihnen das Gelernte noch verständlicher machen sollen.

Nur Mut zum Stolpern

Sie interessieren sich noch immer für dieses Buch? Sehr gut! Das freut mich.

Dann können wir ja langsam mit der Mathematik beginnen.

In diesem Buch führe ich Sie immer tiefer in die Materie ein. Ich führe Sie und halte Ihre Hand, wenn Ihnen das hilft. Aber ich brauche ich Mithilfe da man Mathematik nur dann lernt, wenn man selbst stolpert! Also nur Mut zum Stolpern. Der entstehende Frust wird auch – wie im realen Leben – schnell vergehen. Haben Sie eine (mathematische) Hürde gemeistert, werden Sie nicht mehr über (virtuelle) blaue Flecken jammern, sondern stolz auf sich sein und Mut für weitere Hürden geschöpft haben.

Wenn Sie nicht ab und zu stolpern, etwas stocken, nicht weiter wissen, dann lassen Sie sich nicht tief genug auf den Stoff ein. Dieser ist nämlich nicht so leicht. Auch wenn ich dies manchmal behaupten werde, Sie müssen echt arbeiten, um hier durchzukommen.

Also stolpen Sie! Wie? Übungsaufgaben sind das Stichwort. Ich habe im gesamten Buch jede Menge davon versteckt. Nutzen Sie die Chance und versuchen Sie es. Erst wenn Sie selbst Probleme lösen, werden Sie die Probleme und Strategien wirklich verinnerlichen. Erst dann werden Sie die Finessen verstehen und sehen, warum Mathematiker die jeweiligen Wege gegangen sind. Mathematik lernt sich nicht, indem Sie das Buch wie einen Roman lesen. Üben Sie, hinterfragen Sie, beweisen Sie, lösen Sie die Aufgaben. Das ist frustrierend? Ja, genau. Und das gehört dazu. Starten Sie mit dem Einstiegstest und testen Sie, wo Sie stehen.

Einstiegstest

Mit diesem Test können Sie versuchen einzuschätzen, wo Sie gerade stehen. Ich habe exemplarisch eine Aufgabe pro Kapitel herausgesucht. Aber denken Sie daran, es handelt sich um eine Auswahl – ein Stöbern in den einzelnen Kapiteln wird sich auf jeden Fall lohnen!

Kapitel 1. Sind unendlich große Mengen eigentlich stets gleich groß oder gibt es auch dabei verschiedene Stufen? Wann sind zwei Mengen überhaupt gleich groß?

Kapitel 2. Wie schreibe ich Mathematik und wie lese ich eine solche Formel: ∀x∃y(x > 0 →x = y ⋅ y)? Kann es sein, dass eine solche Formel über den reellen Zahlen gilt, aber nicht über den natürlichen Zahlen?

Kapitel 3. Geben Sie die Lösungsmenge des folgenden linearen Gleichungssystems an:

Kapitel 4. Welche Geraden im vierdimensionalen reellen Raum haben die Eigenschaft, dass die jeweiligen Ortsvektoren von Punkten auf der Geraden unter Addition und Skalierung abgeschlossen sind?

Kapitel 5. Geben Sie eine beschreibende Gleichung der Menge von Punkten an, die jeweils zur x- als auch zur y-Achse den gleichen Abstand hat.

Kapitel 6. Finden Sie jeweils eine Struktur, in der sich die neutralen Elemente der Addition 0 und Multiplikation 1 wie folgt verhalten:

Kapitel 7. Berechnen Sie über den komplexen Zahlen alle Nullstellen des Polynoms p(x) = x³ - x² + 4x - 4.

Kapitel 8. Geben Sie Basis und Dimension der Lösungsmenge des linearen Gleichungssystem aus der Testaufgabe zum Kapitel 3 an.

Kapitel 9. Begründen Sie, weshalb injektive lineare Abbildungen vom dreidimensionalen Raum in sich keinen Punkt als Bild auslassen können.

Kapitel 10. Sei A die Koeffizientenmatrix des linearen Gleichungssystems aus der Testaufgabe zu Kapitel 3. Multiplizieren Sie diese Matrix von rechts mit dem Vektor und interpretieren Sie das Ergenis im Hinblick auf die Testaufgabe zu Kapitel 3.

Kapitel 11. Geben Sie die darstellende Matrix der Spiegelung in der reellen Ebene an der Winkelhalbierenden des ersten Quadranten an. Quadrieren Sie diese Matrix und interpretieren Sie das Ergebnis.

Kapitel 12. Begründen Sie, weshalb Sie kein lineares Gleichungssystem angeben können, das genau drei Punkte im dreidimensionalen reellen Raum beschreibt.

LÖSUNGEN DER AUFGABEN DES EINSTIEGSTESTS

1. Die natürlichen und die reellen Zahlen sind beide unendlich groß. Die einen jedoch abzählbar, die anderen überabzählbar. Aber auch bei den überabzählbar großen Mengen gibt es Unterschiede. Man sagt, dass zwei Mengen gleichmächtig sind, wenn man sie gegenseitig in sich einbetten kann. Mit etwas Mathematik kann man dies umformulieren zu: Es gibt eine Bijektion zwischen beiden Mengen. Das entspricht dem Mächtigkeitsbegriff bei endlichen Mengen und in diesem Sinne kann man die Größe auch bei unendlichen Mengen unterscheiden.

2. Mathematik ist eine formale Sprache. Die angegebene Formel besagt, dass jede positive Zahl eine Quadratzahl ist. Oder anders ausgedrückt: Aus jeder positiven Zahl lässt sich die Quadratwurzel ziehen. Die gegebene Aussage ist über den reellen Zahlen korrekt. Dagegen gibt es über den natürlichen Zahlen Gegenbeispiele, denn für x = 2 finden Sie kein solches y.

3. L = {(2 + s, 2s - 1, s)|s ∈

4. Das sind genau die Ursprungsgeraden, also die Geraden, die durch den Koordinatenursprung gehen. Denn genau diese Geraden stellen die Unterräume des

⁴ dar.

5. Das ist die Ebene, die durch die z-Achse und die Winkelhalbierende der x-y-Ebene verläuft. Als Koordinatengleichung geschrieben: x - y = 0.

6. Die Gleichung 1 + 1 = 0 gilt in

₂, also in der Struktur, die den ganzen Zahlen ähnelt, nur dass Sie ausschließlich die Ziffern 0 und 1 zur Verfügung haben – sie rechnen also binär. Die Gleichung 0 = 1 gilt entsprechend in

₁. Dort haben Sie nur ein Element zur Verfügung, nämlich 0. Eine 1 gibt es gar nicht, dennoch lesen Sie hier das Symbol 1 als neutrales Element der Multiplikation, welches in

₁ nichts anderes als die Null ist. Vielleicht auf den ersten Blick verwirrend, aber in sich mathematisch völlig stimmig!

7. 1, 2i, -2i.

8. Basis:

. Dimension: 1.

9. Injektive Endomorphismen über endich-dimensionale Vektorräume sind nach dem Rang-Defekt-Satz (Dimensionssatz) stets sofort surjektiv.

10. Als Ergebnis der Matrizenmultiplikation kommt genau die rechte Seite des Gleichungssystems heraus. Der Vektor ist also Lösung des Gleichungssystems.

11. Die darstellende Matrix ist:

. Die Multiplikation einer Spiegelmatrix mit sich selbst entspricht der doppelten Ausführung selbiger. Als selbstinverse Abbildung kommt die Identität heraus, also die Einheitsmatrix.

12. Lösungsmengen von linearen Gleichungssystemen sind stets Unterräume oder um einen Vektor verschobene Unterräume, in diesem Fall vom

³. Liegen zwei verschiedene Vektoren in einem solchen Unterraum, ist auch sofort schon die dadurch beschriebene Gerade Teil des (Lösungs-)Raums. Durch einen dritten Punkt kann unter Umständen diese Gerade noch zu einer Ebene erweitert werden. Unterräume, die kleiner als Geraden sind, beschreiben Mengen, die aus einem oder keinem Vektor bestehen.

Glossar

Abzählbare Menge:: Eine Menge heißt abzählbar, wenn sie sich durch die natürlichen Zahlen vollständig abzählen lässt. In diesem Fall kann man die Menge in die natürlichen Zahlen einbetten kann.
Axiom:: Ein Axiom ist eine Aussage, die als Voraussetzung in einer Argumentation oder Beweisführung angenommen wird. Ein Axiom muß selbst nicht bewiesen werden. Es kann parallele Arugumentationen geben, die gegenläufige Axiome verwenden.
Basis eines Vektorraums:: Eine Basis ist eine Menge von Vektoren, die einerseits linear unabhängig sind, andererseits den gesamten Vektorraum mittels Linearkombinationen erzeugen.
Bild:: Das Bild einer linearen Abbildung ist die Menge aller Vektoren, die durch die Abbildung erreicht werden können. Man nennt diese Menge auch den Wertebereich.
Darstellende Matrix:: Lineare Abbildungen vom ^m in den ⁿ können mittels einer Matrix dargestellt werden, so dass diese genau die Abbildungsvorschrift in sich trägt und die Anwendung der Abbildung nichts anderes als die Multiplikation mit der Matrix ist.
Defekt:: Der Defekt ist die Dimension des Kerns einer linearen Abbildung.
Dimension:: Die Dimension ist die Anzahl der Vektoren in einer Basis. Es gibt zwar für einen Vektorraum viele Basen, doch die Anzahl der Vektoren in einer solchen ist stets gleich.
Dimensionssatz:: Der Rang plus Defekt ist gleich der Dimension des Urbildraums einer linearen Abbildung.
Einheit in einem Ring:: In einem Ring nennt man ein bezüglich der Multipliaktion invertierbares Element Einheit.
Elementare Umformung:: Die drei Grundumformungen pro Zeile oder Spalte, die in den Gauß-Algorithmus zur äquivalenten Umformung von linearen Gleichungssystemen eingehen, nennt man elementare Umformungen.
Endomorphismus:: Ein Endomorphismus ist eine lineare Abbildung von einem Vektorraum in sich selbst.
Erzeugendensystem:: Ein Erzeugendensystem ist eine Menge von Vektoren, durch die man mittels (endlicher) Linearkombinationen alle Vektoren des zugrunde liegenden Vektorraums darstellen kann.
Fundamentalsatz der Algebra:: Über den komplexen Zahlen hat ein Polynom n-ten Grades genau n Nullstellen (Vielfachheiten mitgezählt).
Gauß-Algorithmus:: Der Gauß-Algorithmus ist ein Verfahren, bei dem man Gleichungssysteme mittels der Elementarumformungen umformt, ohne die Lösungsmenge zu verändern. Mit ihm können lineare Gleichungssysteme gelöst werden.
Gruppe:: Eine Gruppe besteht aus einer Grundmenge von Objekten und einer Operation auf diesen. Diese Verknüpfung formt die Menge zur Gruppe, wenn sie assoziativ ist, es ein neutrales Element gibt und jedes Element invertierbar ist.
Homomorphismus:: Eine Abbildung zwischen zwei Strukturen der gleichen Art, die die Operationen respektieren, wird Homomorphismus genannt. In diesem Buch werden Homomorphismen zwischen Vektorräumen betrachtet. Solche Abbildungen heißen auch lineare Abbildungen.
Inverse Matrix:: Eine Matrix, die multipliziert mit einer zweiten Matrix, die Einheitsmatrix ergibt, heißt invers zur zweiten.
Isomorphismus:: Ein bijektiver Homomorphismus ist ein Isomorphismus.
Kern:: Der Kern einer linearen Abbildung besteht aus allen Vektoren, die durch diese Abbildung auf den Nullvektor abgebildet werden.
Körper:: Ein Körper ist ein Ring, in dem die beiden neutralen Elemente verschieden sind und alle Vektoren außer dem Nullvektor bezüglich der Multiplikation invertierbar sind.
Komplexe Zahlen:: Die komplexen Zahlen erweitern die reellen Zahlen derart, dass nun auch Wurzeln aus negativen Zahlen gezogen werden können. Grundlegend hierfür ist die imaginäre Einheit i, dessen Quadrat die Zahl -1 ist.
Lineare Abbildung:: Ein Homomorphismus zwischen Vektorräumen wird lineare Abbildung genannt. Eine solche Abbildung ist mit den Operationen im Vektorraum optimal verträglich, so dass die Summe der Bilder gleich dem Bild der Summe ist und das Vielfache eines Bildes auch das Bild des Vielfachen ist.
Lineare Hülle:: Die lineare Hülle von Vektoren besteht aus allen Linearkombinationen dieser Vektoren und formt einen Vektorraum.
Lineare Unabhängigkeit:: Vektoren heißen linear unabhängig, wenn sich der Nullvektor nur durch eine Linearkombination ergibt, bei der alle Koeffizienten gleich null sind.
Matrix:: Eine Matrix ist ein Zahlenschema, das in Form der darstellenden Matrix als lineare Abbildung interpretiert werden kann. Mit Matrizen kann man wie mit linearen Abbildungen rechnen.
Neutrales Element:: Ein neutrales Element bezüglich einer Operation hat die Eigenschaft, dass es bei einer Verknüpfung nichts am Ausgangselement ändert.
Rang:: Der Rang einer linearen Abbildung ist die Dimension des Bildes.
Ring:: Ein Ring besteht aus einer Grundmenge von Objekten und zwei Operationen auf diesen, genannt Addition und Multiplikation. Bezüglich der Addition bildet die Grundmenge eine Gruppe. Die Multiplikation ist assoziativ und es bestehen zwischen den beiden Operationen verbindende Distributivgesetze.
Polarkoordinaten:: Die Polarkoordinaten bilden eine Darstellungsform für komplexe Zahlen, die sich insbesondere zur Interpretation der Multiplikation sehr gut eignet.
Quantor:: Ein Quantor ist ein logisches Symbol, um insbesondere über ein oder alle Objekte sprechen zu können. Man unterscheidet den Existenz- und den Allquantor.
Überabzählbare Menge:: Unendliche Mengen, die sich nicht durch die natürlichen Zahlen abzählen lassen, nennt man überabzählbar. So stellen die reellen Zahlen eine solche Menge dar.
Unter(vektor)raum:: Unterräume sind nicht-leere Teilmengen von Vektorräumen, die in sich unter den Vektorraumoperationen abgeschlossen sind.
Vektorraum:: Ein Vektorraum besteht aus einer Menge von Objekten, genannt Vektoren, und einem Grundkörper, der die Skalare beinhaltet. Dazu gibt es zwei Operationen, die Vektoraddition und die Skalarmultiplikation. Beide Operationen müssen verschiedene Axiome erfüllen. In Vektorräumen lässt es sich wunderbar rechnen.
Venn-Diagramm:: Venn-Diagramme sind eine graphische Art und Weise der Veranschaulichung von Mengenbeziehungen. Sie eignen sich vor allem für alle Visualisierung von solchen Beziehungen, weniger zur technischen Beweisführung.
Vollständige Induktion:: Die vollständige Induktion ist eine Beweismethode, um behauptete Aussagen über eine unendliche Teilmenge der natürlichen Zahlen zu beweisen. Mit ihr ist es also möglich, unendlich viele Teilaussagen nicht einzeln, sondern gleichzeitig nachzuweisen.
Zeilenstufenform:: Die Zeilenstufen einer Matrix ist eine spezielle Dreiecksform, die insbesondere das Ziel bei den anhand des Gauß-Algorithmus durchgeführten Umformungen ist. Interpretiert man sie als Koeffizientenmatrix eines linearen Gleichungssystems, kann man bei ihr rasch die Lösungsmenge bestimmen.

Über den Autor

Dr. Thoralf Räsch studierte Mathematik und Informatik an der Humboldt-Universität zu Berlin und promovierte anschließend an der Universität Potsdam im Bereich der Mathematischen Logik. Zurzeit ist er Akademischer Oberrat am Mathematischen Institut der Universität Bonn und unterrichtet dort seit vielen Jahren Mathematik in verschiedenen Bachelorstudiengängen der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät. Außerdem engagiert er sich schon seit mehr als einem Jahrzehnt in verschiedenen Projekten für Schülerinnen und Schüler zunächst aus dem Berliner und später dem Bonner Raum, in denen auf unterschiedlichem Niveau begeisternd in die Welt der Mathematik eingeführt wird. Nicht zuletzt durch Erfahrungen in Kursen der Volkshochschule kennt er so die mathematischen Wünsche, aber auch die Ängste von Jung und Alt und zeigt in seinen Projekten, dass Mathematik auch Spaß bereiten kann. Diese Projekte sind inhaltlich verständlich und dennoch unterhaltsam motivierend angelegt.

Danksagung

Das Buch basiert auf meinem Vorlesungsmanuskript zur Linearen Algebra, das in den letzten knapp zehn Jahren stetig erweitert wurde. Daher bin ich der Bonner Mathematik für die Möglichkeit dankbar, durch meine Lehre das Manuskript immer weiter optimieren zu können und das genau an dem mit diesem Buch angesprochene Zielpublikum, den Studierenden der Physik, Informatik und des Lehramts Mathematik samt der Anwendungen für Studierende der Naturwissenschaften und Ingenieurswissenschaften. Dies alles zeichnet nun dankenswerterweise dieses Buch aus.

Ich danke insbesondere allen meinen Studierenden der letzten Jahre, die mich mit ihren hilfreichen Fragen und Kommentaren enorm inspirierten und so viele Details ins Buch einfließen ließen. Nicht weniger danke ich meinen Kolleginnen und Kollegen, die direkt oder auch nur indirekt Passagen des Manuskriptes gewinnbringend beeinflußten; exemplarisch möchte ich hier die sehr geschätzten Kollegen Joachim Gräter, Peter Koepke und Michael Welter nennen.

Weiterhin danke ich vor allem der Lehramtsstudentin Christiane Langel für ihre professionelle und stets detailverliebte Umsetzung der Abbildungen des Buches sowie für das Durchrechnen und Überprüfen der Lösungen des gesamten Aufgabenpools. Ihre unermütliche Zuarbeit trägt im besonderen Maße zur Qualität des Buches bei.

Ich danke darüber hinaus den Studierenden Roman Kiriljuk, Thomas Scheurich, Britta Schmidt, Anja Stein und Daniel Reuter meines Kurses aus dem Sommersemester 2014 für das Korrekturlesen jeweils eines Großteils des Buches. Sie alle haben dankenswerterweise und im besonderen Maße innerhalb ihrer verdienten Semesterpause in Quantität und Qualität stark dazu beigetragen, dass viele Problemstellen gar nicht erst auftraten, sondern bereits im Keim erstickten wurden. Das betrifft die Ausbesserung von Typos im gleichen Maße als auch die Perfektionierung von Textstellen.

Nicht vergessen mögen die lieben Menschen sein, die vor allem bereits im Vorfeld am Vorlesungsskript für Qualität sorgten. An dieser Stelle danke ich für ihren jeweiligen besonderen Einsatz den drei Mathematikern Anika Markgraf-Smith, Angel Koutev und Robert Kucharczyk sowie den folgenden Studierenden: Lea Krüger, Cina Razzaghi, Roman Schmitz, Ruben Sparka, Martin Üding und Frank Zickenheiner.

Des Weiteren möchte ich auch bei diesem Projekt meinem Lektor, Herrn Marcel Ferner, für die professionelle, hilfreiche und sehr oft sehr angenehme Unterstützung bei der Umsetzung dieses Projektes danken.

Last but not least: Ich danke Karen aufrichtig und nicht nur für ihren mathematischen Einfluss in den letzten zehn Jahren.

Th.R.