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Mathematik für Ingenieure II für Dummies

Für Dummies 2. Auflage

von: J. Michael Fried
17,99 €
Verlag:	Wiley-VCH (D)
Format:	EPUB
Veröffentl.:	07.03.2022
ISBN/EAN:	9783527839100
Sprache:	deutsch
Anzahl Seiten:	416

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Beschreibungen

Titelbeschreibung

Auch wenn Mathematik nicht gerade Ihr Lieblingsfach ist, zu einem Ingenieursstudium gehört sie einfach mit dazu. Manchmal ist es hier auch nicht einfach mit den Grundlagen getan und Sie müssen sich etwas komplexeren Gebieten der Mathematik nähern. Aber keine Sorge: J. Michael Fried erklärt Ihnen in diesem Band, was Sie über mehrdimensionale Analysis, Vektoranalysis und Co. wissen sollten. Auch Differentialgleichungen, von einfachen über höhere bis zu Systemen linearer Differentialgleichungen, kommen hier nicht zu kurz. So ist dieses Buch der richtige Begleiter für Sie, wenn Sie in der Ingenieursmathematik voranschreiten wollen.

Inhaltsverzeichnis

Über den Autor 7 Danksagung 7 Einleitung 19 Zu diesem Buch 19 Konventionen in diesem Buch 20 Törichte Annahmen über den Leser 20 Wie dieses Buch aufgebaut ist 21 Teil I: Mehrdimensionale Analysis für Ingenieure 21 Teil II: Integralrechnung und Vektoranalysis 21 Teil III: Gewöhnliche Differentialgleichungen 22 Teil IV: Funktionentheorie 22 Teil V: Der Top-Ten-Teil 23 Symbole in diesem Buch 23 Wie es weitergeht 24 Teil I: Mehrdimensionale Analysis für Ingenieure 25 Kapitel 1 Was bisher geschah 27 Grundlagen aus der linearen Algebra 27 Vektor- und Matrizenrechnung 28 Lineare Gleichungssysteme und das Gauß-Verfahren 31 Eigenwerte, Eigenvektoren und die Definitheit von Matrizen 36 Eindimensionale Analysis 37 Folgen, Häufungspunkte und Grenzwerte 38 Grenzwerte reellwertiger Funktionen und Stetigkeit 41 Differenzierbarkeit und Kurvendiskussion 43 Integration 47 Kapitel 2 Grundlagen der Differentialrechnung im ℝ𝒏51 Unsere Welt ist mehrdimensional 51 Viele Variablen und ein Funktionswert 52 Einmal sehen ist besser als hundertmal hören: Graphische Darstellung 53 Viele Wege führen dahin: Stetigkeit 56 Abbildungen zwischen mehrdimensionalen Räumen 58 Ableiten bis zum Abwinken: Totale Differenzierbarkeit 59 Nur einen Teil: Die partielle Ableitung 59 Totale Differenzierbarkeit 63 Was heißt das denn? Charakterisierungen der Differenzierbarkeit 64 Praktische Berechnung der totalen Ableitung 68 Richtungsableitungen 71 Und weiter so! Ableitungen höherer Ordnung 72 In eine Richtung: Partielle Ableitungen höherer Ordnung 72 Vorsicht: Vertauschen partieller Ableitungen geht nicht immer! 74 Kapitel 3 Darf’s noch etwas mehr sein? Mehr Differentialrechnung 77 Die Kettenregel, eine alte Bekannte 78 Eindimensionales in höherdimensionalen Räumen: Kurven 78 Achtung, Schleudergefahr: Ableitung entlang einer Kurve 79 Und nun überall: Die Kettenregel bei Koordinatentransformationen 81 Kettenregel kurz und knapp mit der Jacobi-Matrix 84 In voller Pracht: Die Formel für die allgemeine Kettenregel 85 Höhere Ableitungen, Differentialoperatoren und mathematische Schreibfaulheit 87 Zweite Ableitungen sammeln: Hesse-Matrix 87 Div, rot, grad und der Laplace-Operator 88 Der Mittelwertsatz 90 Der Mittelwertsatz im Mehrdimensionalen 90 Kapitel 4 Erste Anwendungen der mehrdimensionalen Differentialrechnung 93 Die Taylorsche Formel 94 Beispielhaft zweidimensionale Funktionen approximieren 94 Einige Spezialfälle zur Taylorschen Formel 95 Das Newton-Verfahren 97 Das eindimensionale Newton-Verfahren 97 Das Newton-Verfahren im mehrdimensionalen Fall 104 Von hinten durch die Brust ins Auge: Implizite Funktionen 107 Implizite Funktionen im Eindimensionalen 108 Mehrdimensionale implizite Funktionen 111 Kapitel 5 Optimierung 115 Berggipfel und tiefste Schluchten: Extremstellen 115 Höher als die Umgebung? Oder am allerhöchsten? 116 Weniger geht nicht: Unrestringierte Optimierung 116 Kritisch! Eine notwendige Bedingung für lokale Extrema 117 Stationäre Punkte und Tangentialebenen 118 Ganz sicher: Hinreichende Optimalitätsbedingung 120 Informationen durch die Hesse-Matrix: Höhen, Tiefen und Sattelpunkte 120 Und wie ist’s denn nun? Ein einfacher Positivitätstest 122 Restringierte Optimierung 124 Die Sache mit den Nebenbedingungen 124 Direkt zum Ziel: Die explizite Methode 125 Der indirekte Weg: Lagrange-Multiplikatoren 128 Problemvergrößerung erleichtert die Lösung 130 Jetzt schreckt nichts mehr: Mehrere Nebenbedingungen 134 Teil II: Integralrechnung und Vektoranalysis 135 Kapitel 6 Integralrechnung in zwei oder drei Dimensionen 137 Bauklötzchen oder: Die zweidimensionale Integration 138 Wir basteln uns ein Integral 139 Messbare Mengen und Flächeninhalt 141 Flächeninhalt durch Integration berechnen 143 Projizierbare Mengen 143 Zweimal eins ist zwei 146 Integralberechnung ganz praktisch: Beispiele 146 Die zweidimensionale Substitutionsregel 149 Rundes gerade biegen: Polarkoordinaten 151 Im Raum geht das auch: Dreidimensionale Integration 155 Dreidimensionale Projizierbarkeiten 156 Drei Integrationen zur dreidimensionalen Integration 157 Krumme Volumina und Integration im Raum 159 Substitutionsregel dreidimensional 161 Etwas Physik: Masse, Schwerpunkt und Trägheitsmomente 166 Kapitel 7 Fäden durch den Raum: Kurvenintegrale 171 Punkte und Kurven im dreidimensionalen Raum 171 Wandern mathematisch: Wege und Kurven im ℝ3 172 Differenzierbare Wege oder Geschwindigkeit! 173 Kurven mit und ohne Ecken! 174 Eine Fahrschule: Rechenregeln für differenzierbare Wege 175 Orientierungslos im Raum: Kurvenintegrale über Skalarfelder 177 Kurvenintegrale ohne Orientierung 178 Dieselbe Kurve – Unabhängigkeit von der Parametrisierung 180 Drahtspiele: Bogenlänge, Masse und Schwerpunkt 180 Orientierte Kurvenintegrale 184 Da entlang: Kurven mit Richtung 184 Einbahnstraße: Der Tangenteneinheitsvektor 184 Der Weg ist das Ziel: Orientierung und Parametrisierung 186 Viele, viele Pfeile: Vektorfelder 187 Arbeit ist – ein orientiertes Kurvenintegral! 187 Da könnte doch etwas sein: Potentialfelder 190 Gibt es Stammfunktionen für Vektorfelder? 191 Stammtischfähig: Konservative Vektorfelder 192 Integrieren kann so schön sein: Der erste Hauptsatz für Kurvenintegrale 193 Kurvenintegrale über Potentialfelder sind wegunabhängig! 194 Integrabilitätsbedingungen oder: Der zweite Hauptsatz 196 Das Potential ausschöpfen: Berechnung einer Stammfunktion 198 Kapitel 8 Eine Dimension nach oben: Flächenintegrale 203 Flächen im dreidimensionalen Raum 203 Mathematische Darstellungen von Flächen im Raum 203 Voll normal: Reguläre Bereiche 206 Nur nicht ausrutschen! Glatte Flächen 208 Koordinatensysteme auf glatten Flächen 210 Flächen mit Knick: Stückweise glatt 211 Jede Menge parametrisierter Flächen: Beispiele 212 Wie groß ist eine gebogene Fläche? 216 Viele kleine Plättchen: Auf dem Weg zum Flächeninhalt 217 Eine Formel für den Flächeninhalt 219 Jede Menge Inhalt: Formeln für bestimmte Flächeninhalte 220 Flächenintegrale mit und ohne Orientierung 222 Skalarfelder auf Flächen: Orientierungslos 222 Mit Orientierung: Vektorfelder über Flächen integrieren 223 Alles fließt: Eine physikalische Deutung 224 Kapitel 9 Die hohe Kunst der Vektoranalysis: Integralsätze 227 Differentialoperatoren und Integralrechnung 228 Differentialoperatoren: Laplace-Operator, Divergenz und Rotation 228 Operatoroperationen mit dem Nabla-Operator 230 Es wirbelt herum: Rotation und Potentialfelder 231 Rechenregeln zu Rotation, Divergenz und Gradient 235 Noch mehr Rechenregeln 236 Harmonie unter Funktionen 238 Der Gaußsche Integralsatz 238 Oben und unten: Orientierung glatter Flächen 239 Quellen, Senken und der Fluss durch die Oberfläche 241 Die Sätze von Kelvin-Stokes und Green 244 Der Greensche Integralsatz 247 Teil III: Gewöhnliche Differentialgleichungen 249 Kapitel 10 Es ändert sich: Wie funktioniert’s? Grundlegende Fragestellung bei Differentialgleichungen 251 Was sind Differentialgleichungen? 251 Gewöhnlich oder partiell: Definitionen 251 Vom Pendel zum Räuber-Beute-Modell: Überall Differentialgleichungen 252 Ordnung muss sein: Die allgemeine Form einer gewöhnlichen Differentialgleichung 254 Gibt’s das und, wenn ja, wie viele? Existenz und Eindeutigkeit 255 Langsam anfangen: Gewöhnliche Differentialgleichungen 1. Ordnung 256 Am Anfang der Anfangswert und dann? Anfangswertprobleme 257 Das gibt’s! Der Satz von Picard-Lindelöf 258 Graphische Veranschaulichungen 262 Das Richtungsfeld 262 Nicht aus »Star Trek«: Die Isoklinen 263 Kapitel 11 Kochrezepte: Explizite Lösungsmethoden für spezielle gewöhnliche Differentialgleichungen 265 Die exakte Differentialgleichung 266 Was eine Differentialgleichung exakt macht: Die Potentialfunktion! 266 Wieder einmal: Konservative Vektorfelder 267 Implizite Lösungen einer exakten Differentialgleichung 268 Unpassendes passend machen: Integrierende Faktoren 271 Separable Differentialgleichungen 273 Oh, das ist ja exakt! 273 Ähnlich die Ähnlichkeits-Differentialgleichungen! 275 Lineare Differentialgleichungen 277 Kapitel 12 Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung 283 Gewöhnliche Differentialgleichungen höherer Ordnung 283 Alles in einem: Die allgemeine Form einer linearen Differentialgleichung 284 Funktionale Vektoren oder: Lineare Algebra im Funktionenraum 285 Lineare Unabhängigkeit von Funktionen 285 Ein grundlegender Ableitungsoperator 287 Jede lineare Differentialgleichung hat ihren eigenen Operator 288 Die homogene lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung 289 Rückkehr der Kerne: Allgemeine Lösung der homogenen Gleichung 289 Ganz grundlegend: Das Fundamentalsystem 290 Funktionen im Karree: Die Wronski-Matrix 292 Die inhomogene lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung 293 Lösung der inhomogenen Differentialgleichung 293 Spezielle Lösung durch Variation der Konstanten 294 Das Reduktionsverfahren von d’Alembert 297 Kapitel 13 Spezielle lineare Differentialgleichungen 301 Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten 301 Lösung der homogenen linearen Differentialgleichung 303 Das charakteristische Polynom 304 Lösungen bei reellen Nullstellen 304 Lösungen bei komplexen Nullstellen 305 Ein spezielles Fundamentalsystem 307 Schritt für Schritt zur Lösung 308 Lösung der inhomogenen linearen Differentialgleichung 310 Spezielle rechte Seiten 311 Die Eulersche Differentialgleichung 316 Ein Lösungsverfahren zur Eulerschen Differentialgleichung 316 Kapitel 14 Systeme linearer Differentialgleichungen 323 Allgemeine lineare Differentialgleichungssysteme 323 Schreibweisen: Vektorwertige Funktionen oder ein Vektor von Funktionen 324 Was ist ein Differentialgleichungssystem? 324 Zwei Seiten der Medaille: Eine lineare Differentialgleichung als Differentialgleichungssystem 327 Gibt’s denn das? Existenz und Eindeutigkeit bei Differentialgleichungssystemen 329 Das alte Spiel: Lösungsmethode für lineare Differentialgleichungssysteme 330 Eins: Die Fundamentalmatrix des linearen Systems 330 Zwei: Die allgemeine Lösung homogener linearer Systeme 332 Drei: Die allgemeine Lösung des inhomogenen linearen Systems 333 Noch einmal: Die Variation der Konstanten 334 Spezieller: Lineare Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten 337 Kein bisschen kompliziert: Komplexwertige Lösungen 337 Schon wieder die Exponentialfunktion: Lösung des homogenen Systems 338 Eigenwerte liefern Lösungen 339 Auf dem Weg zum Fundamentalsystem 340 Einfache Eigenwerte: Reell – geschenkt! 340 Lösungspärchen bei einfachen komplexen Eigenwerten 341 Hauptvektoren 346 Die Matrix-Exponentialfunktion 349 Lösung des homogenen Differentialgleichungssystems mit konstanten Koeffizienten 352 Teil IV: Funktionentheorie 359 Kapitel 15 Überhaupt nicht hohl: Holomorphe Funktionen 361 Funktionentheorie oder komplexe Analysis 361 Fast wie im Reellen: Folgen komplexer Zahlen 361 Teuflische Tücke im Detail: Die komplexe Ableitung 364 Na, so was! Schon wieder Differentialgleichungen: Cauchy-Riemann 365 Dem Kind einen Namen geben: Holomorphe Funktionen 366 Verwaltungsfreude: Regeln für die komplexe Ableitung 367 Kapitel 16 Komplexe Integration 371 Vorsichtig anfangen: eindimensionale Integration im Komplexen 371 Teilen, teilen! Integrale komplexwertiger reeller Funktionen 371 Krumme Linien: Das komplexe Kurvenintegral 372 Es geht! Praktische Berechnung komplexer Kurvenintegrale 373 Viel mehr zu komplexen Kurvenintegralen! 376 Richtungsweisend: Orientierte Integrale 377 Das berühmte Beispiel von Cauchy 378 Der Integralsatz von Cauchy 379 Fast alles verschwindet! 379 Ein bisschen beweisen: Beweisskizze zum Integralsatz 379 Noch einmal: Das Cauchy-Beispiel und eine Folgerung 380 Böse Stellen: Die Singularitäten 381 Igitt, eine Singularität! 382 Da bleibt doch was … das Residuum 383 Das ist ja einfach! Berechnung des Residuums für Polstellen 1. Ordnung 383 Kurvenintegrale um Singularitäten 384 Singularitäten links liegen lassen: Der Residuensatz 384 Hilfe bei reellen Integralen: Komplexe Umwege vereinfachen die Integration 385 Kapitel 17 Potenz- und Laurentreihen 389 Mal wieder Potenzreihen – diesmal komplex! 389 Nach altem Rezept: Die Potenzreihen 389 Diesmal wirklich: Konvergenzkreise 390 Im Kreis: Potenzreihen sind holomorph! 391 Trost bei Singularitäten: Laurentreihen 393 Laurentreihen, Residuen und Cauchys Integralformel 397 Einige besondere Eigenschaften holomorpher Funktionen 400 Funktionswerte und Kurvenintegrale holomorpher Funktionen 401 Identitätssatz und Maximumsprinzip für holomorphe Funktionen 402 Der Fundamentalsatz der Algebra 403 Teil V: Der Top-Ten-Teil 405 Kapitel 18 Fast zehn Tipps und Tricks, um einen Mathekurs zu überstehen 407 Die Schwierigkeiten der höheren Mathematik 407 Wozu das Ganze gut ist 408 Nicht lockerlassen! 408 Der Unterschied zwischen einer Mathematikvorlesung und einer Theatervorstellung 409 Immer noch: Glauben Sie nichts! 410 Üben Sie! Üben Sie! 410 Abbildungsverzeichnis 411 Stichwortverzeichnis 413

Autorenportrait

J. Michael Fried hat an der Universität Freiburg in Angewandter Mathematik promoviert. Seit 2005 ist er Akademischer Rat am Lehrstuhl für Angewandte Mathematik III an der Universität Erlangen-Nürnberg und hält insbesondere Übungen und Vorlesungen zur Mathematik für Ingenieure. Als Mitglied der Studienkommission für Ingenieure der Elektrotechnik, Elektronik und Informationstechnik ist er mitverantwortlich für die Planung der Mathematikausbildung der Ingenieure.