Details

Die Finite-Elemente-Methode für Anfänger


Die Finite-Elemente-Methode für Anfänger


4. Aufl.

von: Herbert Goering, Lutz Tobiska, Hans-Görg Roos

43,99 €

Verlag: Wiley-VCH
Format: PDF
Veröffentl.: 19.02.2010
ISBN/EAN: 9783527630448
Sprache: deutsch
Anzahl Seiten: 228

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Beschreibungen

Die Finite-Elemente-Methode ist eine grundlegende mathematische Technik zur Behandlung von Differentialgleichungs- und Variationsproblemen, die in Physik und Mechanik, im Bau- und Ingenieurwesen sowie in Elektrotechnik und Mechatronik auftreten.<br /><br /> Das vorliegende Buch ist die vierte Auflage des bewïhrten Standardwerks der drei Autoren. Es ist speziell für Naturwissenschaftler und Ingenieure geeignet, die die mathematischen Grundlagen der Methode kennenlernen wollen. Das Lehrbuch wurde grändlich überarbeitet, zudem u.a. durch Hinweise auf unstetige Galerkin-Methoden und verschiedene Varianten von a posteriori Fehlerabschätzungen sowie Literatur- und Softwareverweise auf den aktuellen Stand gebracht.
<p>Vorwort ix</p> <p><b>1 Einführung 1</b></p> <p>1.1 Allgemeines zur Methode der finiten Elemente 1</p> <p>1.2 Wie überführtman ein Randwertproblem in eine Variationsgleichung? 4</p> <p>1.2.1 Beispiel 1 4</p> <p>1.2.2 Beispiel 2 5</p> <p><b>2 Grundkonzept 7</b></p> <p>2.1 Stetiges und diskretes Problem. Beispiele von finiten Elementen 7</p> <p>2.1.1 Die Grundzüge der Methode 7</p> <p>2.1.2 Ein erstes Beispiel und eine theoretische Schwierigkeit 10</p> <p>2.1.3 Die Lösung: Sobolev-Räume 12</p> <p>2.1.4 Das erste Beispiel (Fortsetzung) 17</p> <p>2.1.5 Präzisierung der Grundzüge der Methode 18</p> <p>2.1.6 Beispiele von finiten Elementen 26</p> <p>2.2 Der Aufbau des Gleichungssystems 36</p> <p>2.2.1 Elementmatrizen 36</p> <p>2.2.2 Die Elementmatrix für eine spezielle Bilinearform und Dreieckelemente vom Typ 1 37</p> <p>2.2.3 Die Elementmatrix für Dreieckelemente vom Typ 2 43</p> <p>2.2.4 Die Elementmatrix für Rechteckelemente vom Typ 1 bzw. bilineare Viereckelemente 45</p> <p>2.2.5 Die Elementmatrix für den Laplace-Operator mit Tetraederelementen 47</p> <p>2.2.6 Elementmatrix für den Laplace-Operator mit trilinearen Quaderelementen 48</p> <p><b>3 Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen 51</b></p> <p>3.1 Direkte oder iterative Verfahren? 51</p> <p>3.2 Direkte Verfahren 53</p> <p>3.2.1 Der Gaußsche Algorithmus 53</p> <p>3.2.2 Symmetrische Matrizen. Das Cholesky-Verfahren 58</p> <p>3.2.3 Weitere direkte Verfahren 60</p> <p>3.3 Iterative Verfahren 65</p> <p>3.3.1 Allgemeine Bemerkungen 65</p> <p>3.3.2 Das Jacobi-Verfahren, das Gauß-Seidel-Verfahren und das Verfahren der sukzessiven Überrelaxation (SOR) 67</p> <p>3.3.3 Das Verfahren der konjugierten Gradienten (CG) 71</p> <p>3.3.4 Vorkonditionierte CG-Verfahren (PCG) 75</p> <p>3.3.5 Mehrgitterverfahren 80</p> <p><b>4 Konvergenzaussagen 85</b></p> <p>4.1 Allgemeine Bemerkungen zur Konvergenzproblematik 85</p> <p>4.2 Ein Beweis einer Fehlerabschätzung für Dreieckselemente vom Typ 1 86</p> <p>4.2.1 Zurückführung des Konvergenzproblems auf ein Approximationsproblem 86</p> <p>4.2.2 Die Approximation durch stückweise lineare Funktionen 87</p> <p>4.2.3 Fehlerabschätzung für Dreieckelemente vom Typ 1 97</p> <p>4.3 Zusammenfassung der Resultate 99</p> <p><b>5 Numerische Integration 107</b></p> <p>5.1 Allgemeine Bemerkungen 107</p> <p>5.2 Der Quadraturfehler für lineare Elemente 108</p> <p>5.3 Eine Übersicht: passende Integrationsformeln 112</p> <p><b>6 Randapproximation. Isoparametrische Elemente 121</b></p> <p>6.1 Approximation des Gebietes Ω durch ein Polygon 121</p> <p>6.2 Isoparametrische Elemente 124</p> <p>6.3 Randapproximation mit Hilfe isoparametrischer quadratischer Elemente 128</p> <p><b>7 Gemischte Verfahren 131</b></p> <p>7.1 Ein Strömungsproblem (Stokes-Problem) 131</p> <p>7.2 Laplace-Gleichung 135</p> <p>7.3 Biharmonische Gleichung 140</p> <p>7.3.1 Stetiges und diskretes Problem 140</p> <p>7.3.2 Formulierung als gemischtes Problem 142</p> <p>7.4 Lösung der entstehenden Gleichungssysteme 146</p> <p><b>8 Nichtkonforme FEM 151</b></p> <p>8.1 Laplace-Gleichung 151</p> <p>8.1.1 Diskretes Problem 151</p> <p>8.1.2 Konvergenzproblem 156</p> <p>8.1.3 Beispiele nichtkonformer finiter Dreieck- und Rechteckelemente 158</p> <p>8.2 Biharmonische Gleichung 164</p> <p>8.2.1 Stetiges und diskretes Problem 164</p> <p>8.2.2 Beispiele nichtkonformer finiter Dreieck- und Rechteckelemente 166</p> <p>8.3 Stokes-Problem 172</p> <p><b>9 Nichtstationäre (parabolische) Aufgaben 177</b></p> <p>9.1 Das stetige, das semidiskrete und das diskrete Problem 177</p> <p>9.2 Numerische Integration von Anfangswertaufgaben: eine Übersicht 179</p> <p>9.3 Die Diskretisierung des semidiskreten Problemsmit dem θ-Schema 187</p> <p>9.4 Eine Gesamtfehlerabschätzung für das θ-Schema 189</p> <p><b>10 Gittergenerierung und Gittersteuerung 193</b></p> <p>10.1 Erzeugung und Verfeinerung von Dreiecksgittern 193</p> <p>10.2 Fehlerschätzung und Gittersteuerung 197</p> <p>10.2.1 Residuale und zielorientierte Fehlerschätzer 198</p> <p>10.2.2 Schätzer, basierend auf Superkonvergenz und Mittelung 201</p> <p><b>Anhang A Hinweise auf Software und ein Beispiel 205</b></p> <p>A.1 Notwendige Files für das MATLAB-Programmfem2d 206</p> <p>A.2 Einige numerische Ergebnisse 209</p> <p>Literaturnachweis 213</p> <p>Index 217</p>
"Das Lehrbuch wurde gründlich überarbeitet, zudem u.a. durch Hinweise auf unstetige Galerkin-Methoden und verschiedene Varianten von A-posteriori-Fehlerabschätzungen sowie Literatur- und Softwareverweise auf den aktuellen Stand gebracht."<br> HTM - Zeitschrift für Werkstoffe, Wärmebehandlung, Fertigung (Juni 2010)<br> <br> <br> "Dieser gründlich überarbeiteten vierten Auflage wurden Hinweise auf unstetige Galerkin-Methoden und unterschiedliche Varianten von a posteriori Fehlerabschätzungen hinzugefügt. Ergänzend stehen online weitere Lernressourcen zu Verfügung."<br> Mechatronik ( 01.08.2010, Nr.8-9/2010)<br> <br> "Die Finite-Elemente-Methode ist eine entscheidend notwendige mathematische Technik in Physik und Ingenieurwesen. Das vorliegende Werk ist die 4. Auflage des bewährten Standardwerks ... der führenden Autoren."<br> EKZ-Informationsdienst (Nr. 37/2010)
Professor Herbert Goering war bis zu seiner Emeritierung Professor an der Universität Magdeburg. Er befasst sich mit verschiedenen Problemen angewandter Mathematik, insbesondere mit der Anwendung und Vermittelung der FEM.<br> <br> Professor Lutz Tobiska lehrt nach wie vor an der Universität Magdeburg und befasst sich in seiner Forschung mit Fluiddynamik, Parallelen Algorithmen,<br> Multigridmethoden und konvektiver Diffusion.<br> <br> Professor Hans Roos, Universität Dresden, forscht im Bereich der numerischen Diskretisierungsmethoden, der Differentialgleichungen und der Anwendung von Splines und Wavelets sowie der Fehlerschätzung.<br> <br> Alle drei sind erfahrene und bekannte Buchautoren.

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